Question

已知定义在是实数集R上的函数y=f(x):都有f(X+Y)=f(x)+f(y)且当x<0时，f（x）>0

已知定义在是实数集R上的函数y=f(x):都有f(X+Y)=f(x)+f(y)且当x<0时，f（x）>0
问：
1.请你举出满足条件的一个函数
2.求f（0）
3。判读f（x）的奇偶性
4。判断f(x)的单调性并加以证明
PS：重在过程

Answer 1

解：1）如f(x)＝kx(其中为已知常数)
2）令y＝0得f(x)＝f(x)+f(0),,所以f(0)＝0
3）取y＝－x，由f(X+Y)=f(x)+f(y)得f(x)+f(－x) = f(X－x) = f(0)＝0,即f(－x) ＝－f(x)，所以，f（x）为奇函数。
4）取X+Y<0，得Y<－x，且f(X+Y) >0，而f(X+Y) =f(x)+f(y)，所以，f(x)+f(y) >0，
即f(y) >－f(x) = f (－x )，记x1＝Y,x2＝－x,则有x1<x2时f(x1) > f(x2)，所以函数y=f(x) 在（－∞，0）上递减且恒正，又f（x）为奇函数，所以y=f(x) 在（0，＋∞）上也递减且恒负，加之f(0)＝0，所以y=f(x) 在（－∞，＋∞）上递减。

Answer 2

1)f(x)=-x
2）f(0）=0
3）f（x)是奇函数
4）减函数