Question

求证相似三角形

如图，△ABC中，DF经过△ABC的重心G，且
DF‖AB，DE‖AC，连接EF，如果BC=5，
AC= AB。求证：△DEF∽△ABC

Answer 1

题目有误应为：如图，在三角形ABC中，DF经过三角形ABC的重心G，且DF//AB,DE//AC,连接EF，如果BC=5，AC=根号2.求证：三角形DEF相似于三角形ABC

由 G 是△ABC 的重心，DF 过点 G，且DF‖AB，可得CD/CB=2/3 .
∴ DF＝2/3AB .
由 DE‖AC，CD/CB=2/3 ，得 DE＝ 1/3AC.
∵ AC＝根号2AB，
∴ AC/AB=根号2，DF/DE=2/3AB÷1/3AC=2AB÷根号2AB=根号2.
得 DF/DE=AC/AB 即 DF/AC=DE/AB .
又∠EDF＝∠A， ∴△DEF∽△ABC.

Answer 2

证明：连接CG交AB于点H，由于G是△ABC的重心，可知CG：GH=2：1，于是CG：CH=2：3

由 G 是△ABC 的重心，DF 过点 G，且DF‖AB，可得CD/CB=2/3 .
∴ DF＝2/3AB .
由 DE‖AC，CD/CB=2/3 ，得 DE＝ 1/3AC.
∵ AC＝根号2AB，
∴ AC/AB=根号2，DF/DE=2/3AB÷1/3AC=2AB÷根号2AB=根号2.
得 DF/DE=AC/AB 即 DF/AC=DE/AB .
又∠EDF＝∠A， ∴△DEF∽△ABC.