Question

高数函数求极限

1.lim(x→0)(x^3-2x^2+3X)/(2x^4+x^3+x)
2.lim(x→0)(1-3x)^1/x -1
3.lim(x→0)[(√1+sinx)-(√1-sinx)]/x
4.lim(x→0)[ln(1-2x)]/x

请教这四道题详解，谢谢~（郁闷，做了半天一对答案全不对，老伤心了！）

Answer 1

1.原式=lim(x→0)(x²-2x+3)/(2x³+x²+1)=3/1=3
2.原式=lim(x→0)[(1-3x)^(1/(-3x))]^[3(x-1)]
=e^{lim(x→0)[3(x-1)}
=e^(-3)=1/e³
3.原式=lim(x→0){[√(1+sinx)-√(1-sinx)]/x}
=lim(x→0){2(sinx/x)/[√(1+sinx)+√(1-sinx)]}
=2[lim(x→0)(sinx/x)]/{lim(x→0)[√(1+sinx)+√(1-sinx)]}
=2*1/2
=1
4.原式=ln{lim(x→0)[(1-2x)^(1/x)]}
=ln{lim(x→0)[(1-2x)^(1/(-2x))]}^(-2)
=ln[e^(-2)]
=-2

Answer 2

1.lim(x→0)(x^3-2x^2+3X)/(2x^4+x^3+x)
高阶小量略去
原始等价于lim(x→0)3X/x=3
2.lim(x→0)(1-3x)^1/x -1
考虑到lim(x→0)（1+x）^1/x=e
令y=-3x
原始化为lim(y→0)（1+y）^-3/y -1=e^-3 -1
3.lim(x→0)[(√1+sinx)-(√1-sinx)]/x
=lim(x→0)[(√1+sinx)-(√1-sinx)][(√1+sinx)+(√1-sinx)]/(x*[(√1+sinx)+(√1-sinx)])
=lim2sinx/(x*2)
=1

4.lim(x→0)[ln(1-2x)]/x
考虑到lim ln（1+x）/x=1
令y=-2x
原始等价于lim-2*ln(1+y)/y=-2