Question

3道高一数学题。求解题详细过程及答案。谢谢。

1.方程x^2+4ax-4a+3=0,x^2+(a-1)x+a^2=0,x^2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围.

2.已知集合A={x│x^2+px+q=0},B={x│qx^2+px+1=0}。同时满足①A∩B≠空集，②-2∈A（pq≠0），求p,q的值

3.已知关于x的方程(1-a)x^2+(a+2)x-4=0,a∈R,求：

（1）方程有两个正根的充要条件。

（2）方程至少有一个正根的充要条件。

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求详细的解题过程和答案！谢谢~~~

Answer 1

1.△≥0
(4a)^2-4*1*(-4a+3)≥0
(a-1)^2-4*1*a^2≥0
(2a)^2-4*1*(-2a)≥0
分别求出a的范围取并集
最终答案应为：a<=-3/2或a>=-1
2.A∩B≠空集
-2∈A
x^2+px+q=0 (1)
qx^2+px+1=0 (2)
两个方程有一个相同的实数根 且 -2是方程(1)的解
相同的根为x
x-2=-p,
-2x=q,
qx^2+px+1=0
-2x*x^2+(2-x)x+1=0
2x^3+x^2-2x-1=0
x^3-1+x^3+x^2-2x=0
(x-1)(x^2+x+1)+x(x^2+x-2)=0
(x-1)(x^2+x+1)+x(x-1)(x+2)=0
(x-1)(x^2+x+1+x^2+2x)=0
(x-1)(2x^2+3x+1)=0
x=1或者x=-1/2或者x=-1
1、x=1时 p=1, q=-2
2、x=-1/2时 p=5/2,q=1
3、x=-1时 p=3 q=2

有两个根
所以是二次方程
1-a不等于0，s不等于1

有两个正根
x1+x2>0,x1x2>0
所以x1+x2=-(a+2)/(1-a)>0
(a+2)(a-1)>0
a<-2,x>1
x1x2=-4/(1-a)>0
a-1>0,a>1
所以a>1

判别式大于0
(a+2)^2+16(1-a)>0
a^2+4a+4-16a+16>0
a^2-12a+20>0
(a-2)(a-10)>0
a<2,a>10

综上
1<a<2,a>10

Answer 2

可以从反面来求解即三个方程组都没实根，求三个方程组的判别式都小于零的解，得第一个为-2/3<a<1/2,第二个为a>1/3或a<-1,第三个为-2<a<0,连立三个再求交集得：-3/2<a<-1，所以最终答案应为：a<=-3/2或a>=-1

A∩B≠空集
-2∈A
x^2+px+q=0 (1)
qx^2+px+1=0 (2)
两个方程有一个相同的实数根 且 -2是方程(1)的解
相同的根为x
x-2=-p,
-2x=q,
qx^2+px+1=0
-2x*x^2+(2-x)x+1=0
2x^3+x^2-2x-1=0
x^3-1+x^3+x^2-2x=0
(x-1)(x^2+x+1)+x(x^2+x-2)=0
(x-1)(x^2+x+1)+x(x-1)(x+2)=0
(x-1)(x^2+x+1+x^2+2x)=0
(x-1)(2x^2+3x+1)=0
x=1或者x=-1/2或者x=-1
1、x=1时 p=1, q=-2
2、x=-1/2时 p=5/2,q=1
3、x=-1时 p=3 q=2

有两个根
所以是二次方程
1-a不等于0，s不等于1

有两个正根
x1+x2>0,x1x2>0
所以x1+x2=-(a+2)/(1-a)>0
(a+2)(a-1)>0
a<-2,x>1
x1x2=-4/(1-a)>0
a-1>0,a>1
所以a>1

判别式大于0
(a+2)^2+16(1-a)>0
a^2+4a+4-16a+16>0
a^2-12a+20>0
(a-2)(a-10)>0
a<2,a>10

综上
1<a<2,a>10