Question

已知函数f(x)对任意实数x,y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)=-2.

（1）：证明f（x)在R上为减函数；

（2）：若f(2x+5)+f(6-7x)＞4，求X的取值范围

这是抽象函数奇偶单调性，已经有解答，见下方：

f(0+0)=f(0)+f(0)

f(0)=0

0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)

∴f(-x)=-f(x)

∴f(x)在R上是奇函数

（1）设x1<x2

f(x2)-f(x1)

= f(x2)+ f(-x1)(奇偶性)

=f(x2-x1)<0(∵x2-x1>0)

∴f(x2)<f(x1)

f（x)在R上为减函数

（2）f(1)=-2

f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)=-4

f(-2)=4

f(2x+5)+f(6-7x)＞4=f(-2)，

f[(2x+5)+ (6-7x)]> f(-2)

f(11-5x)> f(-2)

f（x)在R上为减函数

11-5x<-2

x>13/5

但是我有些地方不懂，比如说第一问

为什么f(x2)+ f(-x1)=f(x2-x1)
为什么f(x2-x1)<0(∵x2-x1>0)

第二问则完全不懂，希望高人能指点一下各个步骤以及这样做依据的道理公式等等，总之是能把这个题讲的很透彻，我将衷心为您祈祷！

补充：因为财富不够了，所以只能拿出20分，请大家不要太计较，救人一命胜造七级浮屠，再次感谢！

Answer 1

取x＝y＝0，由“f(x)对任意实数x,y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)”得f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0，
再取y＝－x，由“f(x)对任意实数x,y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)”得f(x)+f(－x) = f(0)=0，所以f(x)是奇函数，所以f(x2)+ f(-x1)= f〔x2+ (-x1)〕=f(x2-x1)，因为“对任意实数x∈R ，x＞0时，f(x)＜0”，那么取x＝x2-x1＞0，则f(x)＝f(x2-x1)<0。
2）f(1)=－2（已知），f(2)=f(1+1)（依据“2＝1＋1”）=f(1)+f(1) （依据“函数f(x)对任意实数x,y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)”）=2f(1)=－4（已知f(1)=－2），f(－2)=－f(2)＝4（依据“f(x)在R上是奇函数”），f(2x+5)+f(6-7x) = f[(2x+5)+ (6-7x)]，所以f[(2x+5)+ (6-7x)]＞4=f(-2)（将数字4换成函数值f(-2)，便于逆用函数单调性，由函数值的大小关系转化到比较自变量的大小），f[(2x+5)+ (6-7x)]> f(-2)，f(11-5x)> f(-2)，f（x)在R上为减函数，11-5x<-2，x>13/5

Answer 2

第一问，请按照我的解法去做，我的解法是一种简单的技巧。
奇函数就直接用了（不证明了）。
设x1>x2,那么x1=x2+p,p>0,
【技巧就在这里，两个不等的实数，一个较大的实数一定可以表示成较小实数与一个正数的和】

f(x1)-f(x2)=f(x2+p)-f(x2)=f(x2)+f(p)-f(x2)=f(p)<0
【题目中，当x>0,f(x)<0，开头的设的技巧就是为了充分利用题目中的两个条件】
减函数得证。

第二问，解不等式显然是根据函数的单调性来处理。因为这是抽象函数。问题是4是哪个自变量的函数值。
f(1)=-2,
-2与4很接近了，不管负号，2f(1)=-4;所以我们考虑f（2）=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)=-4
f(x)是奇函数，所以f（-2）=4
f（2x+5）+f（6-7x）>f(-2)【左边运用性质，变成一个f（...），不然怎么用单调性呢？】
f(11-5x)>f(-2)
11-5x<-2
x>13/5

Answer 3

f(x2)+ f(-x1)=f(x2-x1)就是在f(x+y)=f(x)+f(y)中令x=x1,令y=-x2
f(x2-x1)<0(∵x2-x1>0)是x＞0时，f(x)＜0的应用,
你看,令x2-x1=t,则t＞0,f(t)＜0
第二步中这个地方不好理解f[(2x+5)+ (6-7x)]> f(-2)
f(11-5x)> f(-2)实际上是把令2x+5=x,6-7x=y应用f(x+y)=f(x)+f(y)得到的
f(11-5x)> f(-2)

f（x)在R上为减函数

11-5x<-2上面这句话的意思是f（x)在R上为减函数f(x1)> f(x2)时
应有x1<x2

Answer 4

1：设a,bR,且a>b;则f（a-b）=f(a)+(-b) （1）
又f(x+y)=f(x)+f(y) ===>> f(-x)=-f(x) 所以f(x)是奇函数
则有（1）式可得 f(a-b)=f(a)+f(-b)=f(a)-f(b) 又a-b>0 所以f(a-b)<0
所以f(a-b)=f(a)-f(b)<0即f(a)<f(b) 所以f(x)是递减函数
2：4=-2*（-2）=-2f(1)=2f(-1)=f(-1)+f(-1)=f(-2)
f(2x+5)+f(6-7x)=f(11-5x)
因为有第一题可以知道f(x)是递减函数
所以f(2x+5)+f(6-7x)>4可以得到 11-5x<-2 ====>> x>13/5

Answer 5

1：为什么f(x2)+ f(-x1)=f(x2-x1)
已知中，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，反过来用，即令x=x2,y=-x1
2:为什么f(x2-x1)<0(∵x2-x1>0)
已知中，x＞0时，f(x)＜0即令x=x2-x1
3：f(-2)=4(次有第一问f(x)为奇函数得出）
f(2x+5)+f(6-7x)＞4=f(-2)，{已知中f(x+y)=f(x)+f(y)，}
别的都很明显啊，基本上都是下一句由上一句推出来的，还有不明白的问我吧，我在线