Question

一道高中数学数列题

设数列{an}的前n项和Sn=4/3an-(1/3)*(2^(n+1))+2/3, n=1,2,3……
(1) 求首项a1与通项an
(2)设Tn=(2^n)/Sn, n=1,2,3……,证明：T1+T2+T3+…Tn< 3/2

第一小题我会做，找高手重点帮忙解决第2小题，说清楚怎么放缩法。
Sn=(4/3)an-(1/3)*(2^(n+1))+2/3

Answer 1

a1=2

Sn=4/3an-(1/3)*(2^(n+1))+2/3,
Sn-1=4/3a（n-1）-(1/3)*(2^n)+2/3,
相减得
an=4/3an-4/3a（n-1）-(1/3)*(2^n)
an=4a(n-1)+2^n

4an-1=4^2*a(n-2)+4*2^(n-1)

...

4^(n-2)a2=4^(n-1)*a1+4^(n-2)*2^2
以上叠加
an=4^(n-1)*a1+2^n+4*2^(n-1)+...+4^(n-2)*2^2
=2^(2n-1)+2^n*[2^（n-1）-1]
=2^(2n)-2^n

2)设Tn=(2^n)/Sn

Sn=4/3[2^(2n)-2^n]-(1/3)*(2^(n+1))+2/3
=4/3*2^(2n)-2^(n+1)+2/3

Tn=(2^n)/Sn
=1/[4/3*2^n-2+2/(3*2^n)]

=3/2*【1/（2^(n+1)+1/2^n-3）】
Tn<3/2n
放缩T1+T2+T3+…Tn<n*3/2n=3/2

只要证明
1/（2^(n+1)+1/2^n-3)<1/n
即证明2^(n+1)+1/2^n-3>n
数学归纳法可证明。其他的方法不知道还有没有

Answer 2

是4/3an还是4an/3
说清楚了再来
还有30分学放缩法，嘿嘿，太便宜了吧