Question

定积分和不定积分的区别和联系是什么？

为什么差了一个字，却在图形的表述上有如此大的差别？

Answer 1

不定积分计算的是原函数（得出的结果是一个式子）
定积分计算的是具体的数值（得出的借给是一个具体的数字）

不定积分是微分的逆运算
而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减

积分
积分，时一个积累起来的分数，现在网上，有很多的积分活动。象各种电子邮箱，qq等。

在微积分中
积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。

其中：[F(x) + C]' = f(x)

一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。
http://baike.baidu.com/view/61339.htm

定积分
我们知道,用一般方法,y=x^2不能求面积(以x轴,y=x^2,x=0,x=1为界)
定积分就是解决这一问题的.
那摸,怎摸解呢?
用定义法和 微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)
具体的,导数的几条求法都知道吧.
微积分基本定理求定积分
[img]http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_231569.jpg[/img]导数的几条求法在这里
进行逆运算
例:求f(x)=x^2在0~1上的定积分

∫(上面1,下面0)f(x)dx=F(x)|(上面1,下面0)=(三分之一倍的x的三次方)|(上面1,下面0)≈0.3333×1－0.3333×0=0.3333(三分之一)
完了
应该比较简单
http://baike.baidu.com/view/392188.htm

不定积分
设F（x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C.
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.
由定义可知：
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分.
http://baike.baidu.com/view/335446.htm

总体来说定积分和不定积分的计算对象是不同的
所以他们才有那么大的区别

Answer 2

被积函数，不管是不定积分还是定积分，都要求在定义域内连续。
他们的区别是一个是函数，一个是数值。
还有就是你的问题能不能再清楚一点，不好回答！

Answer 3

不定积分是一个式子 而 定积分是一个确定的值

Answer 4

大意是，定积分是函数在区间上的累加（即先微元化再叠加），不定积分是函数微分的逆运算。二者在意义上是不同的。
历史上定积分的思想出现的很早，开始仅限于一些特殊的函数如幂函数。不定积分似乎出现得晚一些。但在Newton和Leibniz之前，人们并不把这两个东西看成有关联的。

不过事实上二者又可以由Newton-Leibniz公式相联系。即定积分值是由不定积分在端点上的值确定。也正因为如此，它们才都有“积分”的名称。

我的回答都是凭感觉胡乱写的，如果有不确切之处，不必太较真。