Question

椭圆上的点和其外任意定点距离的最大最小值求法

圆上的点和其外任意定点距离的最大最小值和容易求得，椭圆上的点和其对称轴上任意定点距离的最大最小值也可以求得，椭圆上的点和其外非对称轴上任意定点距离的最大最小值咋求得呀？请高人指点。

Answer 1

椭圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1,
椭圆上任意点A(m,n),
则过A点的椭圆的切线L的方程为:
2×m×(x-m)/a^2+2×n×(y-n)/b^2=0
即
y=-(m/a^2)/(n/b^2)×(x-m)+n
即
y= -b^2×m/a^2/n×(x-m)+n.
切线L的斜率k的表达式:
k= -b^2×m/a^2/n,
椭圆外任意定点B(r,s),
则
AB的斜率h的表达式:
h= (s-n)/(r-m) ,
则
AB垂直于切线L,
即
k×h=-1,
即
-b^2×m/a^2/n×(s-n)/(r-m)=-1,.........................(1)
再考虑到A(m,n)在椭圆上,满足m^2/a^2+n^2/b^2=1...........(2)
联立(1)(2)可解得两个m和n的值,其中一组对应的是最大距离,一组对应的是最小距离,字母解很麻烦,数字解会比较简单的,所以我不写字母解的长长的结果了.

因为脚码不好显示,所以我没有用习惯的k1,k2,表示斜率.

Answer 2

比如椭圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1,
你可以设x=a*cost ,y=b*sint
然后可以转换成关于t的三角函数 ,再待距离求解公式就可以了,不知道上面说的你能不能理解的了^_^