设f(x)函数在数集X上有定义，试证：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。
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证明：
若函数f(x)在X上有界，
则存在M>0,对任意x∈X，
|f(x)|<M.
－M<x<M
若函数f(x)在X上既有上界又有下界，
即对任意x∈X，存在m<n,
使m<|f(x)|<n
取正数M＝max{|m|,|n|}
有－M≤m<|f(x)|<n≤M
即－M <|f(x)|< M
|f(x)|<M.
若函数f(x)在X上有界，
则存在M>0,对任意x∈X，
|f(x)|<M.
－M<x<M
若函数f(x)在X上既有上界又有下界，
即对任意x∈X，存在m<n,
使m<|f(x)|<n
取正数M＝max{|m|,|n|}
有－M≤m<|f(x)|<n≤M
即－M <|f(x)|< M
|f(x)|<M.
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