Question

一道求定积分的题目！

∫1/(1+sinx),（上限是π/4，下限是0）

要过程，谢谢高手指教！

Answer 1

解：∵1/(1+sinx)=1/[sin²(x/2)+cos²(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2)]
=1/[sin(x/2)+cos(x/2)]²
=sec²(x/2)/[1+tan(x/2)]²
∴原式=∫(0,π/4)sec²(x/2)/[1+tan(x/2)]²dx
=2∫(0,π/4)d(1+tan(x/2))/[1+tan(x/2)]²
={-2/[1+tan(x/2)]}|(0,π/4)
=2-√2

Answer 2

求解定积分，关键是求算不定积分，即找出他的原函数。你漏掉了被积变量dx。
本题：
∫1/(1+sinx)dx=∫（1-sinx）/(1+sinx)(1-sinx)dx
=∫（1-sinx）/cos²xdx
=∫sec²xdx-∫sinx/cos²xdx
=tanx-∫1/cos²xdcosx+C
=tanx+cos^(-1)x+C
再把x带进去，用牛顿-莱布尼茨公式算一下就好了

Answer 3

我认为是这样的：1/(1+sinx)=(1-sinx)/[(1+sinx)(1-sinx)]=(1-sinx)/(cosx)^2。所以说呢，∫1/(1+sinx)dx=∫[1/(cosx)^2]dx-∫(sinxdx)/(cosx)^2=∫(secx^2)dx-∫d(cosx)/(cosx)^2=tanx+(1/cosx)+C。然后再把你那个上下限带进去一求就完了，结果是根号2。哇噻，打得我好辛苦啊，希望楼主满意哦~~~呵呵~~~