Question

单调有界原理证明极限存在...求解~~

http://hi.baidu.com/lilei005/album/item/d43cd246e1be0461510ffee1.html
就证明这个...大致的解说吧..谢谢了.

Answer 1

本题极限其实是一个很有名的常数，叫做欧拉常数，约等于0.5772。工程上一直要用到的，其地位不亚于π，e。

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证明：
原式=
lim (1+1/2+1/3+...+1/n)-ln[(2/1)*(3/2)*(4/3)*...*(n/(n-1))]
=lim (1+1/2+1/3+...+1/n)-[ln(2/1)+ln(3/2)+ln(4/3)+...+ln(n/(n-1))]

将其配对：
=lim 1 + [1/2-ln(2/1)] + [1/3-ln(3/2)] + [1/4-ln(4/3)] + ...+ [1/n-ln(n/(n-1))]

这样就变成了一个级数：
1 + ∑[1/k-ln(k/(k-1))]

如果这个级数收敛，那么原极限就存在。

考察级数通项：
1/k-ln(k/(k-1))
=1/k+ln(1-1/k)

将ln(1+x)用泰勒级数展开：

=1/k+{(-1/k)-(1/2)*(-1/k)^2+...}
=-(1/2)*(-1/k)^2+...

至此发现这个级数与∑1/(k^2)速度相同，所以是收敛的，故原极限存在。

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我没用“单调有界”证明极限存在。但既然学过高等数学，这种方法应该都看得懂的吧。楼主也可以搜一下“欧拉常数证明”，看看其他方法。