Question

初三数学 黄金分割

如图，已知线段AB，P1是线段AB的黄金分割点，AP1>BP1,点O是AB的中点，P2是P1关于O点的对称点。求证，P1B是P2B和P1P2的比例中项。

Answer 1

∵P1是线段AB的黄金分割点，AP1>BP1 设AB=a
∴AP1=〔（√5-1）/2〕*a
∵点O是AB的中点
∴AO=(1/2)*a
∴OP1 =AP1-AO=〔（√5-1）/2〕*a-(1/2)*a=(√5a)/2-a
P1P2=2*OP1=√5a-2a
∵BP1=AB-AP1=a-〔（√5-1）/2〕*a=(3-√5)a/2
∴BP2=P1P2+BP1=√5a-2a+(3-√5)a/2=〔（√5-1）/2〕a

∵P2B*P1P2=〔（√5-1）/2〕a *(√5a-2a)=（7-3√5）a²/2
P1B²=(3-√5)a/2=（7-3√5）a²/2
∴P2B*P1P2=P1B²
即P1B是P2B和P1P2的比例中项。

Answer 2

P1B/AP1=AP1/AB
P1B/(AP2+P1P2)=(AP2+P1P2)/(AP2+P1P2+P1B)
P1B/(P1B+P1P2)=(P1B+P1P2)/(2P1B+P1P2)
2(P1B)^2+P1B*P1P2=(P1B)^2+2P1B*P1P2+(P1P2)^2
(P1B)^2=P1B*P1P2+(P1P2)^2=P1P2*(P1B+P1P2)=P1P2*P2B
所以P1B是P2B和P1P2的比例中项