Question

泰勒公式求极限时一般展开到几阶.下面这题应求到几阶?

lim(x->0)[cosx-e^(-x^2/2)]/x^2[x+ln(1-x)]
说具体点，有点不明白，上面那道题应展到几级啊 ,大哥，你怎么看出来的是4阶啊

Answer 1

展到4次方加高阶无穷小。

分母比较简单能看出来是4阶无穷小量，所以分子也要展开到4次方加高阶无穷小。

其实0/0（∞/∞)型的极限就是对无穷小（大）的阶进行比较，你只要关注分子分母的阶即可。比如这个题，分母展开式虽然理论上有无穷多项，但它的阶由第一项确定，就是4，其它的都是高阶无穷小量，在求极限时不起作用。为了能够跟分母的4阶无穷小量作比较，分子相应的至少要展到4阶。
当然如果你先求出了分子的阶，分母也要至少展到同阶...

∞/∞型的类似，但是要注意的是比较无穷大的阶。

总而言之，要抓住关键的一个字：“阶”。

Answer 2

因为分母
x^2[x+ln(1-x)]
你不能把ln(1-x)展开到一阶吧，否则x->0时，x+ln(1-x)~0。
所以ln(1-x)你得展开到二阶，则x+ln(1-x)~x^2/2.但是还得乘以x^2，则分母就变成x^4/2了，
那么分子你就得展开成四阶啦！
结果是不是等于1/6啊？！

Answer 3

一般是几阶就展开几阶，因为再后一阶是其前一阶(也就是我们要展开的最后一阶)的高阶无穷小，可以省略