Question

23.如图，等腰梯形ABCD中，AD‖BC，点E是线段AD上的一个动点

23.如图，等腰梯形ABCD中，AD‖BC，点E是线段AD上的一个动点，（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点。
（1）试探索四边形EGFH的形状，并说明理由。
（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形，并说明理由。
（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论。

Answer 1

（1）平行四边形
∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点
∴在ΔABC中，HF//EB GF//EC
∴四边形EGFH是平行四边形

（2）若EGFH为菱形，则GF=GE=EH=HF
∵EG=1/2BE EH=1/2CE
∴BE=CE
∴角EBC=角ECB
∵等腰梯形ABCD 角ABC=角DCB
又角ABE=角ABC-角EBC
角DCE=角DCB-角ECB
∴角ABE=角DCE
然后就是ΔABE与ΔDCE边角边全等
∴AE=ED
当E运动到AD中点位置时，四边形EGFH为菱形

（3）EF⊥BC 且 EF=BF=1/2BC
∵四边形EGFH为正方形
∴角BEC=90度
则角EBC=角ECB=45度

∵EB=EC,F为BC中点
∴中线EF⊥BC
则角BEF=45度=角EBC
∴EF=BF=1/2BC

Answer 2

解：（1） EFGH为平行四边形

理由;∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点

∴GF‖EC 且GF=1/2EC

FH‖BE 且FH=1/2BE

∴ EFGH为平行四边形

（2）当点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形

证明：∵四边形ABCD是等腰梯形

∴AB=CD ∠A=∠D

∵AE=DE

∴△ABE≌△DCE

∴BE=CE

由（1）可知GF=1/2EC FH=1/2BE

∴GF=FH

∵ EFGH为平行四边形

∴四边形EFGH是菱形

（3）EF垂直平分BC

证明：∵ 菱形EGFH是正方形

∴∠GEF=EGF=∠GFH=∠FHE=∠BGF=∠FHC=90°

∵BE=CE

∴∠EBF=∠GFB=∠HFC=∠HCF=45°

∴△BGF≌△HFC

∴BF=CF

连结EF 则∠EFG=45°

∴∠EFB=∠BFG+∠EFG=90° 即EF⊥BC

∴ EF垂直平分BC

Answer 3

证明：（1）G、F、H是BE、BC、CE的中点，
∴EG∥HF，EH∥GF，
∴四边形GFHE是平行四边形．

（2）当点E运动到边AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
理由：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A=∠D，AB=CD，
在△ABE和△DCE中，
AB=DC∠A=∠DAE=DE​，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，
∵G、F、H是BE、BC、CE的中点，
∴FH=EG=12BE，FG=EH=12CE，
∴EG=FG=FH=EH，
∴四边形EGFH是菱形；

（3）EF=12BC．垂直．
证明：∵四边形EGFH是正方形，
∴∠BGF=∠CHF=90°，
∵FG=EG=BG=FH=EH=CH，
∴△BGF≌△FHC，
∴BF=FC，
∵BE=CE，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴EF=12BC，EF⊥BC．

Answer 4

（1）平行四边形
∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点
∴在ΔABC中，HF//EB GF//EC
∴四边形EGFH是平行四边形

（2）若EGFH为菱形，则GF=GE=EH=HF
∵EG=1/2BE  EH=1/2CE
∴BE=CE
∴角EBC=角ECB
∵等腰梯形ABCD 角ABC=角DCB
又角ABE=角ABC-角EBC
  角DCE=角DCB-角ECB
∴角ABE=角DCE
然后就是ΔABE与ΔDCE边角边全等
∴AE=ED
当E运动到AD中点位置时，四边形EGFH为菱形

（3）EF⊥BC 且 EF=BF=1/2BC
∵四边形EGFH为正方形
∴角BEC=90度
则角EBC=角ECB=45度

∵EB=EC,F为BC中点
∴中线EF⊥BC
则角BEF=45度=角EBC
∴EF=BF=1/2BC

Answer 5

：（1）四边形EGFH是平行四边形．
理由是：∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，
∴GF∥EH，GF=EH
∴四边形EGFH是平行四边形．

（2）当点E是AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D，
在△ABE与△DCE中，
∵AB=DC∠A=，∠DAE=DE​，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE
∵G、H分别是BE、CE的中点，
∴EG=EH
又∵由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形EGFH是菱形．

（3）EF⊥BC，EF=12BC
证明：∵四边形EGFH是正方形，
∴EG=EH，∠BEC=90°
∵G、H分别是BE、CE的中点，
∴根据中位线定理知道EB=EC，
∵F是BC的中点，E为AD的中点，
∴△BEC为等腰直角三角形，
∴EF⊥BC，EF=12BC．