Question

如何用微积分知识推导球的体积公式？

要求详细过程

Answer 1

1、Disk Method——圆盘法：

2、Shell Method——球壳法：

3、General Method——一般法：

扩展资料：

微积分相关：

（1）定积分和不定积分

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。

其中：

一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。

定积分和不定积分的定义迥然不同，定积分是求图形的面积，即是求微元元素的累加和，而不定积分则是求其原函数，而牛顿和莱布尼茨则使两者产生了紧密的联系（详见牛顿-莱布尼茨公式）。

（2）常微分方程与偏微分方程

含自变量、未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。

参考资料来源：百度百科 - 微积分

参考资料来源：百度百科 - 球体

Answer 2

楼主等一会，给你三种详细推导(证明)方法，给你做个图片。 

不好意思，电脑出了点问题，现在才能将图片传上。几分钟后即可见到。

Answer 3

x=Rcost,y=Rsint, 0<=t<=pi/2

是第一象限内的圆弧参数方程，你如果愿意当然也可以用普通方程。

那么它和坐标轴围成的四分之一圆绕x轴旋转能形成一个半球，因此

可知半径为R的球的体积为：

V=2∫(0,pi/2)pi*(Rsint)^2d(Rcost)
=2pi*R^3∫(0,pi/2)(1-cos^2t)dcost
=2pi*R^3*(cost-cos^3t/3)|(0,pi/2)
=2pi*R^3*[(cos0-(cos0)^3/3)-(cospi/2-(cospi/2)^3/3)]
=2pi*R^3*(1-1/3)
=4pi*R^3/3

Answer 4

你可以把球看成是由无数个球壳组成的，每个球壳的面积为4派r的平方，将面积函数积分就是体积了，积分限为0到R。