Question

已知如图,△ABC是边长为3cm的等边三角形,动点P.Q同时从A.B两点出发,分别沿AB,BC方

已知如图,△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P.Q同时从A.B两点出发，分别沿AB，BC方向速度移动,它们的速度都是1cm/s,当点P达点B时,P,Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s),解答下列问题 1,当t为何值时,△PBQ是RT△. 2,设四边形APQC的面积为ycm^2,求y与t的函数关系,是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积使是△ABC面积的三分之二?如存在求相应的t的值,不存在,说明理由.

Answer 1

我们这次月考居然考这个.
解：⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝(3－t ) cm．
△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．
当∠BQP＝90°时，BQ＝ BP．
即t＝ (3－t )，t＝1 (秒)．
当∠BPQ＝90°时，BP＝ BQ．3－t＝ t，t＝2 (秒)．
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
⑵ 过P作PM⊥BC于M ．Rt△BPM中，sin∠B＝ ，
∴PM＝PB•sin∠B＝ (3－t )．∴S△PBQ＝ BQ•PM＝ • t • (3－t )．
∴y＝S△ABC－S△PBQ＝ ×32× － • t • (3－t )＝ ．
∴y与t的关系式为： y＝ ．
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的 ，
则S四边形APQC＝ S△ABC ．∴ ＝ × ×32× ．
∴t 2－3 t＋3＝0．∵(－3) 2－4×1×3＜0，∴方程无解．
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的 ．
⑶ 在Rt△PQM中，MQ＝ ＝ ．
MQ 2＋PM 2＝PQ 2．∴x2＝[ (1－t ) ]2＋[ (3－t ) ]2
＝ ＝ ＝3t2－9t＋9．
∴t2－3t＝ ．∵y＝ ，
∴y＝ ＝ ＝ ．
∴y与x的关系式为：y＝ ．

Answer 2

1、
BP=3-t，BQ=t
分BPQ是直角和BQP是直角
用勾股定理即可
注意直角三角形一个内角是30度

2、
算出三角形BPQ面积即可
过P做BC垂线得到高，BP是底边
在用ABC面积去减就行了

Answer 3

解：⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝(3－t ) cm．
△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．
当∠BQP＝90°时，BQ＝ BP．
即t＝ (3－t )，t＝1 (秒)．
当∠BPQ＝90°时，BP＝ BQ．3－t＝ t，t＝2 (秒)．
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
⑵ 过P作PM⊥BC于M ．

Answer 4

分析：本题涉及的是一道有关等边三角形的性质和勾股定理来解答的数形结合试题，根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形∠B=60°，所以就可以表示出BQ与PB的关系，要分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
解答：解：根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=12BP，
即t=12（3-t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=12BQ，
3-t=12t，t=2（秒）．
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．

Answer 5

解：AP=BQ=t BP=AB-AP=3-t
1、P、Q开始移动，∠BPQ从0逐渐增加 当∠BPQ=30或90度时是直角三角形
若∠BPQ=90度， BP：BQ=1：2 即2（3-t）=t t=2
若∠BPQ=30度，BP：BQ=2：1 即2t=3-t t=1
2、由三角形面积公司S=1/2ab sinC
S△PBQ=1/2BP.BQ.sin∠BPQ=1/2t(3-t).√3/2
=3√3/4.t - √3/4.t^ ^是平方的意思
t取值范围[0，3]
y=S△ABC-S△PBQ=3√3/4-3√3/4.t +√3/4.t^ = √3/4（t^-3.t +3）
y = √3/4（t^-3.t +3）
要使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二，则√3/4（t^-3.t +3）=2√3/4
t^-3.t +1=0 t取值范围[0，3]
解得t=（3-√5）/2 所以存在
3、S△PBQ=1/2PQ.BQ.sin∠PQB=1/4.t.x
y=3√3/4 - 1/4.t.x