已知数列{ an}中,已知a1=1, a(n+1)=an/(1+2an),

已知数列{an}中,已知a1=1,a(n+1)=an/(1+2an),(1)求证数列{1/an}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)若对一切n属于N*,等式... 已知数列{ an}中,已知a1=1, a(n+1)=an/(1+2an),
(1)求证数列{1/an }是等差数列; (2)求数列{an }的通项公式;
(3)若对一切 n属于N*,等式 a1b1+a2b2+a3b3+...anbn=2^n恒成立,求数列{ bn}的通项公式。
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chongshenglove
2009-10-11 · TA获得超过317个赞
知道小有建树答主
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(1) 由a(n+1)=an/(1+2an)化简可得
1/an+1 = (1 + 2an)/an 即 1/an+1 = 1/an + 2
所以 1/an+1 - 1/an = 2
所以数列{1/an }是首项为1 公差为2的等差数列

(2) 由第一问可得 1/an = 1 + (n - 1)*d = 2n - 1
所以 an = 1/(2n - 1)

(3) 这一问有点棘手 我是这么做的
令tn = an*bn
则t1 + t2 + t3 + ... + tn = 2^n
设数列{tn}的和为Sn
那么Sn = 2^n
呢么Sn-1 = 2^n-1
因为 tn = Sn - Sn-1
所以 tn = 2^n - 2^n-1 = 2^n-1
又因为 tn = an*bn 带入an的通项公式
得 tn = bn/(2n - 1)
所以 bn/(2n - 1) = 2^n-1
所以 bn = (2n - 1)*2^n-1
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