Question

如图,在三角形ABC中,AB=AC,角BAC=90°,BD是中线,AE垂直BD,交BC于点E,求证:BE=2EC

Answer 1

如图，把⊿ABC补成平行四边形ABCN, M为AB中点。MR‖OC‖AE. MQ‖BN

∵AM=AD. ∴⊿AMQ（红）≌⊿ADF,又⊿AMQ∽⊿DBA.

注意BA＝2AD, MQ＝2AQ＝2FD＝FP.

∴BF＝2MQ＝2FP. 从而BE＝2EC.

Answer 2

过A作AM⊥BC交BC于M，
AM交BD于N。∴AM=CM（1）
由AB=AC，
∠BAN=∠C=45°，
∠ABN+∠ADB=90°，
∠CAE+∠ADB=90°，
∴∠ABN=∠CAE，
∴△ABN≌△ACE（A，S，A），
∴AN=CE（2），
由（1）和（2)得：
MN=ME
∵AM，BD是△的中线，
∴交点N是三角形ABC的重心，
∴AN=2MN,即MC=2CE，
设BC=6，∴BM=3，CE=2，ME=1，
∴BE=3+1=4，CE=2，
即BE=2CE。
证毕。

Answer 3

过A作AM⊥BC交BC于M，
AM交BD于N。∴AM=CM（1）
由AB=AC，
∠BAN=∠C=45°，
∠ABN+∠ADB=90°，
∠CAE+∠ADB=90°，
∴∠ABN=∠CAE，
∴△ABN≌△ACE（A，S，A），
∴AN=CE（2），
由（1）和（2)得：
MN=ME
∵AM，BD是△的中线，
∴交点N是三角形ABC的重心，
∴AN=2MN,即MC=2CE，
设BC=6，∴BM=3，CE=2，ME=1，
∴BE=3+1=4，CE=2，
即BE=2CE。
检举 如图，把⊿ABC补成平行四边形ABCN, M为AB中点。MR‖OC‖AE. MQ‖BN

∵AM=AD. ∴⊿AMQ（红）≌⊿ADF,又⊿AMQ∽⊿DBA.

注意BA＝2AD, MQ＝2AQ＝2FD＝FP.

∴BF＝2MQ＝2FP. 从而BE＝2EC.