Question

求解微分方程！急！！！！！！在线等答案！！！！

(y')^2 = y^4 - y^2
要有详细过程，谢谢！

Answer 1

下式a为图中的角alpha

y`=sqr(y^4-y^2)

对y积分

左边=y

右边=∫sqr(y^4-y^2)dy

∫y*sqr(y^2-1)dy

由sec^2-tan^2=1 (1/cos^2 - sin^2/cos^2=1)

sec^2-1=tan^2

做三角代换,令seca=y

则∫y*sqr(y^2-1)dy=∫seca*sqr(seca^2-1)dseca

等于

∫seca*sqr(seca^2-1)dseca=-∫seca*(sina/cos^2a)*sqr(seca^2-1)da

=-∫seca*(sina/cos^2a)*tana da=-∫sec^2a*tan^2a da

=-∫tan^2a dtana     (由d(tana)=sec^2a)

=-(tan^3a)/3

再由tana=sqr(y^2-1)得

y=-(y^2-1)^(3/2)+c