Question

已知，如图1所示，三角形ABC与三角形ADE。AB等于AC，AD等于AE，角BAC等于角DAE，且点BAD在一条直线上，连

BE，CD的中点
1.求证，BE等于CD，三角形AMN为等腰三角形
2.在图1的基础上，将三角形ADE绕点A绕顺时针方向旋转180度，其他条件不变得图2，请直接写出1中的两个结论是否正确
3.在2的条件下，请你再图2中延长ED交线段BC于P，求证，三角形PBD相似于三角形AMN。

图自画行不

Answer 1

（1） 证：因为∠BAC=∠DAE
所以∠ABE=∠CAD
又因为AB=AC，AE=AD
所以ΔBAE≌ΔCAD
所以BE=CD
且∠MBA=∠NCA
因为M，N是BE，CD的中点
所以BM=CN
又AB=AC
所以ΔBAM≌ΔCAN
所以AM=AN
（2） 仍然成立（这个不用证明的~~！~~）
（3） 因为ΔABC和ΔADE都是等腰三角形，且顶角相等，则底角也相等
即∠CBA=∠ADE=∠PDB
所以ΔPDB也是等腰三角形，∠BPD=∠CAB
同（1）可证ΔBAM≌ΔCAN
所以∠BAM=∠CAN
所以∠NAM=∠CAB=∠BPD
又AN=AM
ΔAMN为等腰三角形，
所以△PBD∽△AMN

Answer 2

（1）证明：∵∠BAC=∠DAE．
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD．
∵AB=AC，AD=AE．
∴△ABE≌△ACD．
∴BE=CD．
（2）证明：由（1）得△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，BE=CD．
∵M，N分别是BE，CD的中点，
∴BM=CN．
又∵AB=AC．
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．

（3）（1）、（2）中的两个结论仍然成立．