Question

高数数列极限问题！！

定义是：对于任意给出的一个正数ε，都存在一个正整数N，使得n>N时，

|An-u|<ε成立。那么ε可以取大于1的数吗？若是能取，那么N和n还有意义吗，他们怎么取？

还有无穷大和函数无界，有什么区别？
若ε取大于1的数 ，哪么N n分别怎么取？

Answer 1

你对这个定义还没有理解，ε是任意取的，因此当然可以取大于1的数，这个定义的关键是对于随便取的一个ε，都能找到N，因此ε取的越小，条件就越严苛，但是无论ε取多小，依然能找到这样的N满足n>N时，|An-u|<ε成立，这样才能说其极限为u。无穷大是一个定义，它是为了完备实数的理论而造出来的，简单的说，函数无界，就是说函数在定义域内要么有某一点的取值是无穷大，要么当x趋于无穷大时，函数值也趋于无穷大，这两个东西不是一个概念

我建议你自己多看几遍定义多想想，你根本没有抓到这个定义的本质，ε是否取大于1的数和这个定义根本毫无关系，而且为何你要把1当做一个界限？

Answer 2

楼上两位说的嘛？

1.根据你已经列出的数列极限的定义，对epsilon仅仅限定它是正数，你说大于1能取吗？大于好几百万也没问题啊。既然对任意的正数epsilon都能找到N，对于大于1的epsilon当然也存在N符合要求，并且应该更容易找出来，或者说更容易取。

2.无穷大和无界函数区别在于：
无穷大反映随着自变量的某个变化过程（也只允许那么几种过程，比如x-->x0,x-->∞等）函数值的绝对值无限制的增大，这是函数值变化的一个确切的趋势，就是趋于无穷。

无界函数无论如何不意味着函数值在某一点取无穷大，这不允许。任意一点函数值都是有限的。

无界函数是指函数的值域是无界的。无穷大肯定无界，但是无界函数未必是无穷大，这里面一要注意无穷大是跟某个变化过程有关的，二要注意无穷大是函数值变化的固定的趋势，而无界函数就没有这些特点。比如震荡无极限的函数
y=xsin(1/x),(x-->∞)无界，你能说它是无穷大吗？
不能。因为无穷大不是函数值变化的固定趋势。

Answer 3

ε可以取大于一的数，但只是一个可能值，ε是任意的，N,n要满足所有的ε，故ε取大于一的数和N,n没关系。

Answer 4

这里要理解n和n的相对含义，n是指我们能列举的任意大的一个整数，而当n>n时，说明你取得的任意大正整数都比这个数列取的项要少，那么就是这个数列的极限了。

Answer 5

楼上的说的太罗嗦！
楼主记住|An-u|<ε表示Au与u的距离无穷小！显然ε为一确定数，肯定会大于无穷小！