Question

微积分高分求解！！

1：我们知道二重积分下dxdy=rdrdθ 这是在将x=rcosθ与ycosθ代入得到的极坐标表达式。问，整个推导过程是怎样的？
2：f（x）=x/(x+2)在x=1出展开成幂级数，同样化为1/（1+t）来用标准方程代入有两种方法，一种是化为1-（2/3）*[1/（1+(x-1)/3）]，另一种是化为1/（1+1/x），标准答案是第一种，请问第二种等价第一种么？若不等价，为什么？
3：dp/[(1+p^2)^(2/3)]=dx如何积分？
4：一个标准幂级数的收敛半径为R，但却不一定有极限lim|a(n+1)/a(n)|其中n->无穷。为什么呢？能否举出一个恰当的例子？

请数学老师或者达人给予解答。。不胜感激。。
如果实在是不好写在这里，可以发到我的邮箱carboon@sina.com。
不胜感激

Answer 1

1，将x=rcosθ与ycosθ带入

那么dxdy表示的区域现在应该是
dx = dx/dr * dr + dx/dθ * dθ
= cosθ*dr - rsinθ*dθ
dy = sinθ*dr + rcosθ*dθ

dxdy = r*cosθ*cosθ*dr∧dθ - r*sinθ*sinθ*dθdr
= r(cosθ*cosθ+sinθ*sinθ)drdθ
= rdrdθ

2.不等价，
1/（1+1/x），这不是标准形式！标准形式必须是1/（1+t），或者1/（1-t）
因为就1/（1+1/x），来说，收敛的条件是，x>1，或者x<-1
而题目本身x/(x+2) 只有当x>1，x<-1显然是发散的
所以不能用这个形式进行简单的t=1/x的替换！
此类题一定要用标准形式。

3.
dp/[(1+p^2)^(2/3)]=dx

令p=tanθ，带入
(secθ)^2/(secθ)^3dθ=dx
则cosθdθ=dx
x+C=sinθ
代换回来！
x+C=(1+p^2)^(1/2)/p

4.这个简单啊，对于幂级数，如果收敛半径为0，
那么lim|a(n+1)/a(n)|=+∞
因为，r=lim|a(n)/a(n+1)|

或者对于需要分段讨论的幂级数，
例如∑x^n^2/x^n

lim |a(n)/a(n+1)|=

0 |x|<1
1/2 |x|=1
+∞ |x|>1
显然，收敛半径为1,(-1<x<1时）
但是lim |a(n)/a(n+1)|极限不存在