Question

如何证明2元函数在某点处极限存在？

高等数学关于多元函数中讲到，在2元函数中当点P趋于（X,Y）时F（x,y）趋向一个定植，此时还不能判断二重极限存在。
书中给出了证明极限不存在的方法，那么请问如何证明2元函数在某点处极限存在呢？
请高手赐教，谢谢！！！

Answer 1

通常都是由放缩法出发，并通过极限存在的定义得到证明结果。某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中。

此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

扩展资料

贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，和变通的解决办法，连名人牛顿也无法摆脱‘极限概念’中的混乱。

这个事实表明，弄清“极限”概念，它是一个动态的量的无限变化过程，微小的变量趋势方向上当然可以极为精密地近似等于某一个常量。这是建立严格的微积分理论的思想基础，有着认识论上的科学研究的工具的重大意义。

参考资料来源：百度百科-极限

Answer 2

要证二元函数的极限存在，通常都是由放缩法出发，并通过极限存在的定义得到证明结果。比如一个简单的例子：z=(xy)^2/(x^2+y^2)
要证明当x,y->0是极限存在是由
|(xy)^2/(x^2+y^2)-0|<=|(xy)^2/(2xy)|=0.5|xy|=0，从而极限存在。
类似这种方法通常需要在不等式放缩方面有一定的熟练度。
还有另一种方法就是如果二元函数在某点可微那么也说明在该点连续。
验证是否可微就是另一套程序了。
这里多说一句：2楼所说的是二元函数在某点弱可微的定义，弱可微是得不到极限存在的。我可以通过直线接近某点，也可以通过曲线接近该点，光是与k无关事没有用的。

Answer 3

一般来说没法证明
因为要二重极限存在，必须在一个领域范围内从所有路径趋向这个点的值都存在且相等，因为路径无穷多，所以通常不会要证明这个东西。除非是极其特殊的函数和定义域。一般都是证不存在。

Answer 4

个人认为：因为y和x趋向某个点时候路径有无数多，可以设y=kx，然后证明趋向某个点时极限与k无关就可以了。

Answer 5

函数的左右极限存在且相等是函数极限存在的充要条件啊,正推反推都是对的.实心处只有左极限或者右极限,但是有极限要求在有极限那一点要连续才能说有极限,不相等可以分别说有左极限或者右极限,但就是不能说那一点有极限.