两道大一高数微分中值定理问题
1.证明方程X的5次方+X的3次方+X+5等于0有且仅有一个实根。2.证明2arctanX+arcsin(1+X平方分之2X)等于π,(X大于等于1)....
1.证明方程X的5次方+X的3次方+X+5等于0有且仅有一个实根。
2.证明2arctanX+arcsin(1+X平方 分之 2X)等于 π ,(X大于等于1). 展开
2.证明2arctanX+arcsin(1+X平方 分之 2X)等于 π ,(X大于等于1). 展开
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1.设f(x)=x^5+x^3+x+5,当x足够小时,必存在f(a)<0(如a=-100)
当x足够大时必存在f(b)>0(如b=100)
根据零值定理,f(x)至少有一个实根c,使f(c)=0
f(x)’=5x^4+3x^2+1>0恒成立,所以f(x)单调递增,f(x)=0至多只有一个实根
综上,f(x)=0有且仅有一个实根
2.g(x)=2arctanx+arcsin(2x/(1+x^2)
g(x)'=2/(1+x^2)+1/跟号1-(2x/(1+x^2)^2*[(2x/(1+x^2)]'
=2/(1+x^2)+1/根号1-(2x/1+x^2)^2*(2-2x)/(1+x^2)^2
=2/(1+x^2)+(2-2x)/[(1+x^2)根号(1+x^2-2x)
因为x大于等于1,所以g(x)'=2/(1+x^2)+(2-2x)/[(1+x^2)(x-1)
=0
所以
g(x)=C=g(1)=2arctan1+arcsin1=2*π/4+π/2=π
得证。
当x足够大时必存在f(b)>0(如b=100)
根据零值定理,f(x)至少有一个实根c,使f(c)=0
f(x)’=5x^4+3x^2+1>0恒成立,所以f(x)单调递增,f(x)=0至多只有一个实根
综上,f(x)=0有且仅有一个实根
2.g(x)=2arctanx+arcsin(2x/(1+x^2)
g(x)'=2/(1+x^2)+1/跟号1-(2x/(1+x^2)^2*[(2x/(1+x^2)]'
=2/(1+x^2)+1/根号1-(2x/1+x^2)^2*(2-2x)/(1+x^2)^2
=2/(1+x^2)+(2-2x)/[(1+x^2)根号(1+x^2-2x)
因为x大于等于1,所以g(x)'=2/(1+x^2)+(2-2x)/[(1+x^2)(x-1)
=0
所以
g(x)=C=g(1)=2arctan1+arcsin1=2*π/4+π/2=π
得证。
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