Question

两道大一高数微分中值定理问题

1.证明方程X的5次方+X的3次方+X+5等于0有且仅有一个实根。
2.证明2arctanX+arcsin(1+X平方 分之 2X）等于 π ，（X大于等于1）.

Answer 1

1.设f(x）=x^5+x^3+x+5,当x足够小时，必存在f（a）<0(如a=-100）
当x足够大时必存在f（b）>0（如b=100）
根据零值定理，f（x）至少有一个实根c，使f（c）=0
f（x）’=5x^4+3x^2+1>0恒成立，所以f（x）单调递增，f（x）=0至多只有一个实根
综上，f（x）=0有且仅有一个实根

2.g（x）=2arctanx+arcsin（2x/(1+x^2)
g(x)'=2/(1+x^2)+1/跟号1-(2x/(1+x^2)^2*[(2x/(1+x^2)]'
=2/(1+x^2)+1/根号1-(2x/1+x^2)^2*(2-2x)/(1+x^2)^2
=2/(1+x^2)+(2-2x)/[(1+x^2)根号（1+x^2-2x)
因为x大于等于1，所以g（x)'=2/(1+x^2)+(2-2x)/[(1+x^2)(x-1)
=0
所以
g(x)=C=g(1)=2arctan1+arcsin1=2*π/4+π/2=π
得证。