Question

速求一道初中数学题答案

如图，在三角形ABC中，AB=AC，角BAC=80°，点P在三角形ABC内，角PBC=10°，角PCB=30°，求角BAP的度数。

Answer 1

作出点P关于直线OA的对称点M,关于直线OB的对称点N.
任意取OA上一点Q,OB上一点R.
由对称点的性质:QM=QP,RN=RP
所以三角形PQR的周长=PQ+QR+RP=MQ+QR+RN
由两点间直线最短,所以只有当Q,R在线段MN上时,上面的式子取最小值.也就是说只要连接MN,它分别与OA,OB的交点Q,R即为所求.
这时三角形PQR的周长=MN,只要求MN的长就行了.
容易知道OM=ON=OP=10,∠MOA=∠AOP,∠POB=∠BON.
所以∠MON=∠MOA+∠AOP+∠POB+∠BON=2(∠AOP+∠POB)=2∠AOB=90度
所以三角形MON是等腰直角三角形,直角边等于10,易求得斜边MN=10*根号2
也就是说,三角形PQR的周长的最小值=MN=10*根号2

Answer 2

分别过OA和OB做点P对称点P1和P2,连结PQ,PR,P1Q,P2R.则PQ=P1Q,P2R=PR,三角形周长PQ+PR+QR=P1Q+P2R+QR,要使值最小,就要P1QRP2四点在同一直线上,这时三角形周长就为线段P1P2的长.
连结OP1,OP2.P1P2,可得OP1=OP2=OP=10,角P1OP2=2倍角AOB=60度.所以三角形P1OP2是等边三角形,所以P1P2=10厘米.则三角形PQR的周长最小值为10厘米.

Answer 3

作等边三角形ABD，使得∠DAC是锐角，连结CD。
则：AB=BD=AD，∠ABD=∠BAD=60°。
∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴AD=AC，∠DAC=80°-60°=20°，
∠ABC=50°=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC=1/2×（180°-20°）=80°
∵∠PBC=10°∠PCB=30°
∴∠CBD=60°-50°=10°=∠PBC
∠ABP=50°-10°=40°
∠BCD=80°-50°=30°=∠PCB
∴△PBC≌△DBC，∴PB=BD=AB
∴∠BAP=∠BPA=1/2×（180°-40°）=70°，
∴∠PAC=80°-70°=10°
∵∠PAC+∠BAP=80°
∴∠BAP=70°

Answer 4

在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC
所以AD=AB=AC
∠DAC=∠BAC-∠BAD=20
所以∠ACD=∠ADC=80
因为AB=AC,∠BAC=80
所以∠ABC=∠ACB=50
所以∠CDB=10=∠BPC
又∠DCB=30=∠PCB,BC=CB
所以△BDC≌△BPC
所以PC=DC
又∠PCD=60
所以△DPC是等边三角形
所以△APD≌△APC
所以∠DAP=∠CAP=10
所以∠PAB=∠DAP+∠DAB=10+60=70

Answer 5

解答提示：
如图，作等边三角形ACD，连接BD
容易得出下列结果：
∠BAD＝∠MAB＝10°，∠ADC＝60°
∠BCD＝20°
而BC＝AC＝CD
得∠CDB＝∠CBD＝80°
于是∠ABD＝∠ABM＝30°
得△AMB≌△ADB
所以AC＝AD＝AM
所以∠AMC＝∠ACM＝（180°－40°）/2＝70°

和下列问题是同型问题：
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