Question

急！已知A B C为三角形ABC的三个内角，向量a=(sinB+cosB,cosC) 向量b=(sinC,sinB-cosB)

若a·b=-1/5 求tan2A (请详细说明cos2A的取值情况）

Answer 1

a·b=(sinB+cosB)(sinC)+(cosC)(sinB-cosB)
=sinBsinB+cosBsinC+cosCsinB-cosCcosB
=-cosCcosB+sinBsinB+cosBsinC+cosCsinB
=-cos(B+C)+sin(B+C)=-1/5
又[sin(B+C)]^2+[cos(B+c)]^2=1
解得sin(B+C)=3/5 cos(B+C)=4/5(这里利用sin(B+C)>0舍去了一组解，因为B,C为三角形的内角)
sinA=sin(180-A)=sin(B+C)=3/5
cosA=-cos(180-A)=-cos(B+C)=-4/5
tanA=sinA/cosA=-3/4
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]=2*(-3/4)/(1-9/16)=-24/7

cos2A=2(cosA)^2-1=2(-4/5)^2-1=7/25

Answer 2

－1/5＝ a·b＝（sinb+cosb，cosc）*（sinc，sinb-cosb）＝sin(b+c)－cos(b+c)＝sina＋cosa，所以cosa＜0.

所以，1/(25)＝1＋2sinacosa，sinacosa＝－12/(25)，
所以，sina，cosa是方程x^2＋x/5－12/(25)＝0的根，所以，sina＝3/5，cosa＝－4/5

tana＝－3/4
tan2a=2tana/(1-(tana)^2)=-(3/2)/[1-9/16]=-24/7