Question

分段函数求导

f(x)=x^2sin1/x x不等于0
=0 X等于0
求 F'(0)=？ 为什么必须用定义？ 老师说因为导函数不一定连续，不能先用求导公式求出导函数 然后再代X=0 。这和导函数是否连续有什么关系。。。？
谢谢解答。
能详细解释下为什么 导函数连续 那么导数值才等于导函数的函数值 么？

Answer 1

不要本末倒置了。论及导数，必须先确定一个基点a，然后考查自变量与函数在这点附近的变化。在许多问题中，一定范围内的每一点都可以当作基点来考虑，所以为了方便，才直接用记号x表示基点a。你翻下课本仔细看看，基本初等函数的求导和求导公式哪个不是定了一个基点来讨论的，只不过那个基点用x来表示罢了。如果函数在一个开区间的任一点x都可导，此时f'(x)就是一个确定的值。这样就得到一个定义在这区间上的函数，称为是f的导函数。换句话说，导函数在x点的函数值必等于原来的函数在x点的导数值。说了这么多，就你那个题而言，之所以在x=0处要用定义计算，是因为根本就没有现成的公式可用，而不是什么导函数连不连续！先有的导数才有的导函数，一般来说，这种有分界点的函数，该点的导数我们只有用定义先算出，再把其它点的导数算出，才得到一个导函数。这道题你可以验证出它的导函数在x=0处是不连续的。但我们在没有用定义得到这个点的导数时，导函数在这点上根本就还没有（或者说根据你现有的知识无法）定义，又何谈连续性呢？谁因谁果请楼主细心体会。不过等你以后学习了导数极限定理，那么只要f在x=0处连续，再求出在除去点x=0的导函数，如果这个导函数当x趋于0时的极限存在，那么这个极限值就等于f'(0)，进而导函数在x=0连续。

Answer 2

因为导函数连续 那么导数值才等于导函数的函数值，这是连续的定义了。
你可以记住，凡是分段函数，在他各段的分界点处的导数 就用定义去求，其他可直接使用导数公式。
楼主的这个分段函数 用定义求在0点的导数值应该是0

就是连续，只不过用了导函数的连续性。
连续：函数在一点的极限值=他在这一点的函数值，这就是函数在这一点连续的定义。所以如果导函数在一点连续，那么我们就可以通过导函数在这一点的函数值来表示它的极限值。
但分段函数的导数在其断点处不一定连续，所以一般不能用导数公式去求

楼上被采纳的回答，导函数的确是在导数定义之后定义的，但是不是你求所有导函数的时候 都是用的导数定义？否则就没法求了？你说的一定范围每个点都可视作基点，所以用x，那x在这个范围内具有任意性，你求出来的那个极限可不可以看做导函数呢？本来很简单的问题，让你越说越复杂。

Answer 3

第一问：
老师前半句说的话相当对，但是对初学者理解这道题起不到什么作用。函数的导数还没解决，再整导数的函数岂不是更凌乱。
至于后半句·····请问“先用求导公式求导”这个所谓错误怎么犯？此题在0处，哪里有可用的求导公式？
忽略老师的话吧，他也许是怕你们还理解不了深入的，先让你们记住现成的结论。
分段函数求导，那么重点不是求导，而是分段函数！搞清楚分段函数的前世今生，才能把握其特性，才能在特殊中总结出一般。
此题所谓“分段函数”，都是高手们站在一定的高度概括出来的，数学语言的优美性使得初学者很容易进坑。
这函数的实质那里是什么“分段”，明明就是一个大函数，走到0这个地方，突然不能定义了，才只好另作说明：“哥走到0这里会变成0，别思念过去的哥了”。这正是高等数学中“函数可去间断点”的定义。可去间断点虽然间断，但仍然可以求极限。导数又是特殊的极限，自然联想到用求极限的方式求导数喽！
所谓“分段函数”，还有一种类型：就是X大于某数有一个表达式，X小于等于某数有一个表达式。这个才是真正的分段函数（但其实深究，也不过是两个互不相干的函数在此点相交，各取一段，出一个大表达式来唬人罢了，哥不是夏大的！）。

第二问：
导函数只不过是一种特殊的函数，你用函数的思维考察导函数就行了。你会发现第二问你问的相当幼稚，肯定是被引导的钻牛角尖了。
最后，至于“分段函数分段点必须要用定义求导”。世界上没有这么多必须的事儿，用求导公式也可以照求不误！反而用求定义极为复杂。只不过对函数形式有要求，还有点连续的条件才能达到。
这么多年过去了，不晓得楼主是否已经搞明白了呢？

Answer 4

分段函数求导，分段求导，在断点处，若两边的导数相等，则分段导数可以连接起来。

Answer 5

可以分段求，但是要注意应该用导数的定义求而不能直接用公式求导！