Question

二次函数压轴题型的解法

比如说已知两点的坐标,这时抛物线上有一点P,使得这三点围成的三角形是等腰或直角三角形,那么应该怎么求P的坐标?? 我知道一般方法用相似,但是如果单纯来求的话,容易使这个方程式成为4次或多次方程,解的十分麻烦. 比如这样一道题,已知抛物线y=(√3)x²/3-(2√3)x/3-√3,与x负半轴交于A(-1,0).与x正半轴交与B(3,0),那么假设P是抛物线上一点,是否有P使得△ABP为Rt△?有的话求坐标. 请示范解下此题,主要是过程.谢谢! 我是初三的学生,希望能有些对此的帮助.
这道题要求的是Rt△而不是等腰△,况且即便是求等腰三角形点也很多,如果用距离公式建立方程的话,必定还会去解一个4次方程,所以疑问就在这里,这道题我觉得他可能会有猜测性,因为原题是直接写坐标,但应该有过程,可只要去细算,不管用勾股定理还是作辅助线证相似,都避免不了解4次方程,不知道是不是真的有巧解,尤其是这一方面的题,解法我还不太晓得 名动一方,你的回答最后是联立抛物线方程,难道没有解4次方程吗?

Answer 1

这里先告诉你一个常识：相互垂直的两条直线斜率之积为-1（x、y轴除外）

这样就很简单了，求出直线AB的方程，求出线段AB的中点坐标，求出斜率

过线段AB的中点并垂直于AB的直线，与抛物线的交点即为所求。

例题解答：

设抛物线y=(√3)x²/3-(2√3)x/3-√3上存在一点P(x，y)，使得△ABP为Rt△

则PA垂直于PB，斜率之积为-1

PA斜率为：y/(x+1),PB的斜率为：y/(x-3)

则：[y/(x+1)]×[y/(x-3)]=-1

即：x²+y²-2x-3=0…………①(其实就是满足PA⊥PB的P点的轨迹方程，高中会学的)

联立抛物线方程，解得：

P点坐标为（0，-√3）或（2，-√3）

Answer 2

取AB的中点做垂直于x轴直线 这条直线会与抛物线相交，求出交点，然后算出AP判断AP=AB？
如果相等的话交点就是要求的点 否则就没有这样的点