Question

y=sinxcosx/(1+sinx+cosx)的值域

过程

Answer 1

一楼的解法过繁，二楼的做法中少了t=-1,即sinx+cosx+1=0的情况。
我有一个简单而且正确的方法：
注意到：(1+sinx+cosx)(1-sinx-cosx)=1-(sinx+cosx)^2=-2sinxcosx
……①,所以：
（1）当1+sinx+cosx＝0时容易知道sinx,cosx中有一个是0。此时(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)＝0。
（2）当1+sinx+cosx≠0时，由①式(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)＝-1/2*(1-sinx-cosx)=-1/2+(sinx+cosx)/2.
而由于sinx+cosx=√2*sin(x+π/4),所以-√2≤sinx+cosx≤√2.因此-(√2+1)/2≤-1/2+(sinx+cosx)/2≤(√2-1)/2。
综上所述，y=(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)的值域是[-(√2+1)/2,(√2-1)/2].

Answer 2

(1)
y=(1+3sinx)/(2-cosx)
化简并整理，得：
3sinx+ycosx=2y-1
引进辅助角，有：
根号(9+y*y)*sin(x+t)=2y-1
于是左边的值域为
-根号(9+y*y)
到
根号(9+y*y)
所以
根号(9+y*y)>=|2y-1|
于是
9+y*y>=4*y*y-4*y+1
解不等式，有
(4-4根号7)/6<=y<=(4+4根号7)/6
(2)
令sinx+cosx=t,
t*t=1+2sinxcosx
那么sinxcosx=(t*t-1)/2
那么y=(t*t-1)/2/(t+1)=(t-1)/2
t=sinx+cosx=根号2*sin(x+Pi/4)
(Pi是圆周率)
所以
-根号2<=t<=根号2
所以
(-根号2-1)/2<=y<=(根号2-1)/2
(补充:
由于分母=(t+1)≠0,
所以t≠-1
所以y≠-1.)

Answer 3

∵sinxcosx
=[（sinx+cosx）^2-1]/2
=(1+sinx+cosx)(sinx+cosx-1)/2
∴y=sinxcosx/(1+sinx+cosx)
=(sinx+cosx-1)/2
又1+sinx+cosx≠0即sinx+cosx≠-1
且sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2].
∴y=sinxcosx/(1+sinx+cosx)的值域为
[(-√2-1)/2,-1)∪(-1,(√2-1)/2].

Answer 4

解：
令sinx+cosx=t,
t*t=1+2sinxcosx
那么sinxcosx=(t*t-1)/2
那么y=(t*t-1)/2/(t+1)=(t-1)/2
t=sinx+cosx=根号2*sin(x+Pi/4)
(Pi是圆周率)
所以
-根号2<=t<=根号2
所以
(-根号2-1)/2<=y<=(根号2-1)/2
(补充:
由于分母=(t+1)≠0,
所以t≠-1
所以y≠-1.)

Answer 5

令sinx+cosx=t,
t*t=1+2sinxcosx
那么sinxcosx=(t*t-1)/2
那么y=(t*t-1)/2/(t+1)=(t-1)/2
t=sinx+cosx=根号2*sin(x+Pi/4)
(Pi是圆周率)
所以
-根号2<=t<=根号2
所以
(-根号2-1)/2<=y<=(根号2-1)/2
(补充:
由于分母=(t+1)≠0,
所以t≠-1
所以y≠-1.)
正解