Question

求函数y=（1/2）^（1+2x-x^2）的定义域，值域及单调区间。请写出详细过程

Answer 1

函数y=（1/2）^（1+2x-x^2）,
因为底数1/2不等于0，所以 幂指数 1+2x-x^2可以是(负无穷大，正无穷大)，
在1+2x-x^2中，x可以取任意值，
故 原函数的定义域是 (-∞,+∞)。

定义f(x)=1+2x-x^2=-[（x^2-2x+1）-2]=-(x-1)^2+2,
显然，f(x)<=2,
f '(x)=-2x+2,
x=1时 f '(x)=0, f(x)可能取得极值或只是个拐点，
f ''(x)=-2<0, f(x)在x=1处有极大值。f(x)极大值为2.
此时，函数值 y=1/4=0.25。
当x趋近于负无穷大时，f(x)趋近于负无穷大，y值趋近于正无穷大；
当x趋近于正无穷大时，f(x)趋近于负无穷大，y值趋近于正无穷大；
故 函数y的值域为 [0.25,+无穷大）。

又解函数极值：
原函数y=(1/2)^(1+2x-x^2)等价于y=(1/2)^[-(x-1)^2+2]=2^[(x-1)^2-2],
[(x-1)^2-2]‘=2(x-1), [(x-1)^2-2]''=[2(x-1)]'=2>0,
x=1时，原函数y=(1/2)^(1+2x-x^2)=2^[(x-1)^2-2]的指数函数(x-1)^2-2具有极小值-2,
从而原函数y的极小值y=2^(-2)=1/4=0.25,
x>1,y=(1/2)^(1+2x-x^2)=2^[(x-1)^2-2]趋向于正无穷大，
x<1,y=(1/2)^(1+2x-x^2)=2^[(x-1)^2-2]趋向于正无穷大，
故原函数y的值域是：[0.25,+无穷大）。

讨论函数的单调性：
原函数y=(1/2)^(1+2x-x^2)=(1/2)^[-(x-1)^2+2]=2^[(x-1)^2-2],
y ' =2^[(x-1)^2-2](2x-2)ln2,
因为2^[(x-1)^2-2]ln2>0,
所以，y ' 的正负就由 (2x-2)所决定、即由x-1所决定：
x>1时，原函数y是增函数；
x<1时，原函数y是减函数。

Answer 2

y=（1/2）^（1+2x-x^2）=2^（x^2-2x-1）
1、定义域x∈R
2、值域
由二次函数的性质可知，当x∈R时，x^2-2x-1的最小值为-2，没有最大值。
底数为2，大于1，所以y>2^1=2
所以值域为y>2
3、单调区间
令u=x^2-2x-1，则y=2^u
y是关于u的增函数，
根据二次函数的性质，
在x∈(-∞，1]上，u是关于x的减函数；在x∈[1，+∞)上，u是关于x的增函数。
由复合函数的性质知：
在x∈(-∞，1]上，y关于x单调递减；在x∈[1，+∞)上，y关于x单调递减增。