Question

高一数学指数函数及其性质

题目是2005年江西高考数学的第10题，在http://edu.qq.com/a/20050609/000006_1.htm 的第10题
写出详细过程

Answer 1

　　指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。
　　当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于 0 的时候，y等于1。当0<a<1时，指数函数对于x的负数值迅速攀升，对于x的正数值非常平坦，在x等于 0 的时候，y等于1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。

　　作为实数变量x的函数，
　　
　　的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴，尽管它可以无限程度地靠近x轴(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数x上。
　　性质：

　　（1） 指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
　　（2） 指数函数的值域为R+。
　　（3） 函数图形都是上凹的。
　　（4） a>1时，则指数函数单调递增；若0<a<1，则为单调递减的。
　　（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过
　　指数函数
　　程中（不等于0）函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
　　（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
　　（7） 函数总是通过（0，1）这点,(若
　　
　　,则函数定过点(0,1+b))
　　（8） 指数函数无界。
　　（9）指数函数是非奇非偶函数
　　（10）指数函数具有反函数，其反函数是对数函数，它是一个多值函数。

Answer 2

B
1、2、3、4选项可以根据画图，在同一个函数图像上画出y=(1/2)^x和y=(1/3)^x两个图像，划一根平行于x轴的直线则(1/2)^x=(1/3)^x，比较a,b,0的大小，那么三四就可以排除了：5,a=b=0时成立

Answer 3

2^a=3^b

首先 a=b=0 是肯定成立的
另外假如 2个符号不同，
t＞0 ，2^t 或者 3^t 肯定＞1
t<0 2^t 或者 3^t 肯定＜1
∴ 符号不同也排除掉， 只能是同号了

当 a，b都是 正数

a>b> 0
2^a >2^b<3^b
所以2^a=3^b 是有可能发生的
0<a<b就不可能了
当 2个都是负数

2^a= 1/2^(-a)
3^b=1/3^(-b)

2^(-a)=3^(-b)
-a,-b都是正数，由正数的讨论知道
-a>-b
a<b<0

∴ ③④ 是错的
选择答案B

Answer 4

显然a=b*log以1/2为底的1/3的对数
所以a=b*log(2)3 (2为底)
a=1.58b
因此3,4都不符合,对于5,有a=b=0成立
固选B,2个

Answer 5

http://edu.qq.com/a/20050609/000006.htm
2005年高考江西理科数学试卷