Question

一道初等数论问题

证明：若a,b互质，且ab=c^n,则a=x^n,b=y^n,c=xy

Answer 1

因为a b 互质 则易知 c必定是一个合数 否则
a=c^x b=c^y (x+y=n) 则 a与b不互质 矛盾

则 此时 a 能表示为形如x^n的数 否则 设 a=x^m m<n 则易知 b中包含元素 x^(n-m)
则a与b不互质 矛盾
同理 可知 b 能表示为形如y^n的数
又由于ab=c^n 所以 c=xy

Answer 2

楼上是对的，但是不太严谨，我已经几次发现sefvbnm你在百度知道上的数论证明有所欠缺。数论讲究严谨，望这位数论爱好者注意。

那就是你不能忽略trivial case，当a或b等于1时，c未必是合数，x,y也有可能是1，需要另加讨论。
还有a=x^m 的假设也不够好，应该要说a=x^m*y^l，才对，不过你的基本思路出来了，楼主应该能自己判断。

分给楼上的吧。