Question

【高一数学】（函数）

设函数f(x)的定义域是(0,+无限),对任意正实数m,n,恒有f(mn)=f(m)+f(n)，且当x>0时，f(x)>0，又f(2)=1
（1）求f(0.5)的值
（2）求证：f(x)在(0,+无限）上是增函数
（题目是不是有问题)

Answer 1

(1) f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)=2f(1)
所以 f(1)=0
这与题目条件“x>0时，f(x)>0”相悖
故题目有问题

Answer 2

f(0.5)+f(4)=1
f(4)=f(2)+f(2)=2
f(0.5)=-1
设f(x2)=f(mn) f(x1)=f(m)
f(x2)-f(x1)=f(mn)-f(m)=f(n)
因为n>0所以f(n)>0
所以f(x2)-f(x1)>0
所以为增函数

Answer 3

f(2)=f(0.5)+f(4)=f(0.5)+f(2)+f(2)=1
f(0.5)=-1
设f(x2)=f(mn) f(x1)=f(m) 0<f(x1)<f(x2)
f(x2)-f(x1)=f(mn)-f(m)=f(n)>0
所以为增函数

Answer 4

取m=1，得f(n)=f(1)+f(n)，可得f(1)=0，这与“当x>0时，f(x)>0”矛盾。