Question

如图，AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高，求证AD垂直平分EF

Answer 1

因为AD平分角BAC，所以DE=DF，又因为DE、DF为高，所以3角形AED全等于3角形AFD，所以角EDA=角FDA，所以3角形EDP全等于3角形DFP，所以EP=FP，角EPD=角FPD=90，
所以AD垂直平分EF

Answer 2

∵AD是角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠DEA=∠DFA=90° ∠ADE=∠ADF
∵AD=AD
∴△ADE≌△ADF(AAS)
∴ED=DF
∵∠ADE=∠ADF OD=DO（暂时称点O）
∴△ODE≌△ODF（SAS）
∴OE=OF ∠DOE=∠DOF
∴AD是EF的中垂线

Answer 3

解：连接EF与AB相交于O点
由题意可知，AD是三角形ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD
又因为DE,DF分别是△ABD和△ACD的高，
AD=AD
由角边角可知△ADE和△AFD全等，
∴
DE=DF,AE=AF,∠EDO=∠FDO
因为OD=OD
所以△DEO和△FDO全等
∴EO=FO
又因为△AEF是等腰三角形，EO=FO
所以△AEO和△AFO是全等三角形
所以O点是中点
∴AO⊥EF
所以得证AD垂直平分EF

Answer 4

证明:AD是△ABC的角平分线，则有角EAD=角FAD，在三角形EAD和三角形FAD中，有角AED=角AFD=90°，且AD=AD，所以三角形AED全等于三角形AFD，则AE=AF。
令AD与EF交于点G，显然有三角形AEG全等于三角形AFG，从而得到EG=FG，且角AGE=角AGF=90°，即AD垂直平分EF

Answer 5

∵AD平分∠BAF,DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠EAD=∠FAD,DE=DF,∴点D在EF的垂直平分线上。∴⊿DEA≌⊿DFA,∴AE=AF,∴点A在EF的垂直平分线上。∴AD垂直平分EF。
三角形全等是HL定理
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