Question

△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC中点，ED延长线与CB延长线交于点GF

（1）求证FD*FD=FB*FC
（2）若G是BC中点，连接GD ，GD与EF垂直吗？并说明理由

Answer 1

（1）
∠CAB＝∠DCB，
∠CDE＝90°－∠BDF
∠DCE＝90°－∠DCB
故DE=CE=AE，且∠BDF＝∠DCF
故ΔBDF相似于ΔDCF，及FD/FC＝FB/FD－>FD*FD＝FB*FC
（2）
对RTΔBDC,当G为BC中点，显然有DG＝BG＝CG，
故∠DCB=∠CDG,而∠DCB+∠DCE=90°，∠CDE＝∠DCE，
故∠CDG+∠CDE＝90°，
故GD⊥EF。

Answer 2

1.证明:CD垂直AB,E为AC中点,则DE=AC/2=AE,∠A=∠ADE=∠FDB;
又∠A=∠DCG(均为∠ECD的余角).故∠FDB=∠DCB.
又∠F=∠F,则⊿FDB∽⊿FCD,FD/FC=FB/FD,FD²=FBxFC.
2.GD垂直FD.
证明:CD垂直AD,E为AC中点,则DE=AC/2=CE,得∠CDE=∠ECD;
同理可证:DG=CG,∠GDC=∠GCD.
则∠CDE+∠GDC=∠ECD+∠GCD=90度,故GD垂直FD.