Question

一道大一数学分析的题目,请达人进~

证明关于函数y=[x]的如下等式([x]表示不超过x的最大整数)
⑴当x>0时,1-x〈x[1/x]≤1
⑵当x<0时,1≤x[1/x]<1-x

希望高手能详细解答,另外问一下函数的有界性和哪些因素有关?是不是定义域和对应法则?谢谢

Answer 1

（1）X>0,则不等式两边同时除以X得，（1/X）-1<[1/X]<=1/X,因为[x]表示不超过x的最大整数，故右边[1/X]<=1/X成立，对不等式左边：
当X>1时，1/X<1,(1/X)-1<0,(1/X)-1<[1/X]>0,但[1/X]不是整数，不考虑
当0<X<1时，左边（1/X)-1,右边[1/X]，因为[x]表示不超过x的最大整数，所以只能保证[1/X]取他的最大值时成立，譬如取X=0.25,左边为3，右边为[4],但右边也可以取1，2，3，但只有取最大值4时才成立，所以条件有些问题。注意这题里定义域的对象变了，函数y=[x]，定义域对象X,题中应该是1/X。
当（1）得证后，（2）就好说了，（2）就等于将（1）乘以-1，不等式变号，得出。
函数有上界，即存在数K1,使得函数f(x)<=k1,下界类似f(x）>=K2,函数在X上有界的充分必要条件是他在X上既有上界又有下界。其中X在函数定义域之内。函数有界性跟定义域关系不大，主要看他的值，也就跟对应法则有关吧。
本人大四，高数好久不看了，希望能对学弟有帮助