Question

设关于X的方程ax^2+(a+2)x+9a=0,有两个不等的实数根

设关于X的方程ax^2+(a+2)x+9a=0,有两个不等的实数根x1,x2,且x1<1<x2,求a的取值范围？若将本题转化成二次函数问题，对应的二次函数与X轴的交点的范围是多少？

Answer 1

要使方程有两个不等的实数根x1,x2,且x1<1<x2,需同时满足以下条件:

(1)首先,判别式>0,即:(a+2)^2 - 36a^2 > 0

35a^2 - 4a - 4 < 0

(7a + 2)(5a - 2) < 0

-2/7 < a < 2/5

(2) 因为x1<1<x2,则有
X2 - 1 > 0
1 - X1 > 0

两式相乘得: (X2 - 1)(1 - X1) > 0

即: X1 + X2 - X1X2 - 1 > 0

根据韦达定理有:
X1 + X2 = -(a + 2)/a
X1X2 = 9

代入前面的不等式:

-(a + 2)/a - 10 > 0
(a + 2)/a < -10
1 + 2/a < -10
2/a < -11

则a > -2/11

(3)由(2)已知:

X1 + X2 = -(a + 2)/a
X1X2 = 9

由于X2>1,而X1X2 = 9,所以X1>0.又X1<1,所以0 < X1 <1.

所以有: X1 + X2 > 1

则 -(a + 2)/a > 1

解得: -2 < a < 0

综合以上(1)、（2）(3)得到的结果，a的取值范围必须同时满足以下不等式组:

-2/7 < a < 2/5
a > -2/11
-2 < a < 0

综合得: -2/11 < a < 0

以下解对应的二次函数与X轴的交点的范围:

还是考虑:
X1 + X2 = -(a + 2)/a = -(1 + 2/a)
X1X2 = 9

因为-2/11 < a < 0,则
-无穷大 < 1/a < -11/2
-无穷大 < 2/a < -11
-无穷大 < 1 + 2/a < -10
10 < -(1 + 2/a) < +无穷大

所以, 10 < X1 + X2 < +无穷大

而X1 = 9/X2,代入上面的不等式得:

10 < 9/X2 + X2 < +无穷大

X2^2 - 10X2 + 9 > 0

(X2 - 9)(X2 - 1) > 0

X2 > 9
X2<1(舍去,这实际上是X1的范围)

前面已分析出: 0 < X1 < 1

所以,二次函数与X轴的交点的范围是: (0,1)和(9,+无穷大)