Question

怎么用定积分证明球体表面积公式

不要复制能搜到的答案
切片当做圆柱体侧面积来积分的
结果是π²R²，而不是4πR²
怎么才能消除这个误差呢？

Answer 1

取微圆环，圆心角θ～θ＋dθ，

则微圆环面积dS＝2πRsinθ＊Rdθ，

球面积S＝∫dS＝∫2πR²sinθ＊dθ（从0积到π）＝－2πR²cosθ｜（下0上π）＝4πR²

应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料

利用周长公式计算球的表面积

√表示根号

把一个半径为R的球的上半球横向切成n（无穷大）份， 每份等高

并且把每份看成一个类似圆台，其中半径等于该类似圆台顶面圆半径

则从下到上第k个类似圆台的侧面积S（k）＝2πr（k）h

h＝R＾2／｛n√［R＾2－﹙kh）＾2｝．

S（k）＝2πr（k）h＝（2πR＾2）／n则 S＝S（1）＋S（2）＋……＋S（n）＝ 2πR＾2；

乘以2就是整个球的表面积 4πR＾2；

参考资料来源：百度百科——球体表面积

Answer 2

取微圆环，圆心角θ~θ+dθ,则

微圆环面积dS=2πRsinθ*Rdθ，

球面积S=∫dS=∫2πR²sinθ*dθ（从0积到π）=-2πR²cosθ|（下0上π）=4πR²

不知楼主你的意思是什么，有什么其他的积分方法么？

Answer 3

搜我的博文，对这个问题我有专门的论述分析。选一段
求微元的方法
我们求积分，必须先求微元，如果球表面积的微元用周长乘以高来积分，就犯了荒唐错误，而有时某情况正确，恰是碰巧如球体积，所以，从这个可笑事件中是必须吸取瞎猜的教训，要掌握好微元的正确推导方法。
如积分求曲线与X轴围成的面积，当然可以直接写成积分S=∫ydx，但我们仍然用微元推导，微元是个“直角梯形”：下底y,上底y+dy,高dx ，则微元:
dS=(y+y+dy)/2 dx=(y+1/2dy)dx
去掉二级无穷小, dS=ydx S=∫ydx
再如，曲线长度的微元就是直角三角形的斜边，符合勾股定理，
曲线长度dL=√(dx^2+dy^2)。L=∫√(dx^2+dy^2)=∫√(1+y'^2)dx
球的截面微元是个圆台， 圆台的体积v=πh/3(r1^2+r1r2+r2^2)
球体积的微元 dV=πy^2 dx。V=π∫y^2dx
表面积微元是圆台的侧面积， 圆台侧面积s=π(r1+r2)√((r1-r2)^2+h^2)
球表面积微元 dS=2πy √(dx^2+dy^2）。
S=2π∫y√(dx^2+dy^2）=2π∫y√(1+y'^2)dx ，才会得到正确的球表面积公式。
这样，微元以三角形、梯形、圆台等方式用合法公式推导，我们就不会再犯低级的主观错误。