Question

高一数学：设a,b,c,为三角形的三边，求证：a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2+4abc>a3+b3+c3

Answer 1

a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2+4abc-(a^3+b^3+c^3)

=a[(b-c)^2-a^2]+b[(c-a)^2-b^2]+c[(a-b)^2+4ab-c^2]

=-a(a+c-b)(a+b-c)-b(a+b-c)(b+c-a)+c[(a+b)^2-c^2]

=-a(a+c-b)(a+b-c)-b(a+b-c)(b+c-a)+c(a+b+c)(a+b-c)

=(a+b-c)[-a(a+c-b)-b(b+c-a)+c(a+b+c)]

=(a+b-c)(-a^2-b^2+2ab+c^2)

=(a+b-c)[c^2-(a-b)^2]

=(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
a,b,c是三角形的边长
所以a+b-c>0,a+c-b>0,b+c-a>0
a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2+4abc-(a^3+b^3+c^3) >0
所以a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2+4abc>a^3+b^3+c^3

Answer 2

设b=b/a=>b=b*a
c=c/a=>c=c*a
则原不等式变为a^3*(b^2+c^2+b*c^2+b+c+b^2*c-1-b^3-c^3-2bc)>0
<=>
(b-c)^2-b^2(b-c)+c^2(b-c)+b+c-1>0
<=>
(b-c)^2-(b-c)^2(b+c)+b+c-1>0
<=>
-(b-c)^2(b+c-1)+b+c-1>0
<=>
(b+c-1)(1-(b-c)^2)>0
两边同乘a^3
<=>
(b+c-a)(a^2-(b-c)^2)>0
三角形3边必有b+c>a
=>b+c-a>0
<=>
a^2-(b-c)^2>0
<=>
a^2>(b-c)^2
<=>
a>b-c(设b>c)
<=>
a+c>b
成立

Answer 3

三角形任意两边之和大于第三边
三角形任意两边之差小于第三边