Question

初二全等三角形问题

考查下列命题：1.全等三角形的对应边上的中线，高，角平分线对应相等
2.两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等
3.两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等
4.两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等

其中正确命题的个数有几个
记住把每种情形的大概图发上来，谢谢
证明过程请写出来

Answer 1

有两个三角形，对应边长分别是A,B,C与a,b,c. A和a上对应的高为h，B和b上对应的高为p，C和c上对应的高为q，按照你给的条件的，高对应相等。然后我设第一个三角形ΔABC的面积为S1，设第二个三角形Δabc的面积为S2.
可列出等式：2S1=Ah=Bp=Cq (1式) 与2S2=ah=bp=cq （2式）
把1式除以2式，得A/a=B/b=C/c 然后我设这个式子A/a=B/b=C/c=k (k不等于0） , B=bk, C=ck ∵Ah=Bp=Cq , ∴akh=bkh=ckh
∵ah=bp=cq ∴k=1 ∴A=a ,B=b ,C=c
以上再用三角形三边相等可证得三角形全等这条定理证得ΔABC与Δabc全等。

关于你的第二个命题：两三角形的对应角平分线相等，则两三角形全等
这个命题证明起来稍微复杂点哦。
首先，还是按照我上一个命题描述的那个样子画2个三角形，然后，额，等一下，我说的不大准确，我所说的A,B,C,a，b，c，都是边长，前面一个命题还好，这个命题要特别说明一下的。A,B,C三边所在的三角形为ΔDEF，a,b,c三边所在的三角形为Δdef，当然，它们都是一一对应的。然后∠DEF和∠def的角平分线长度相等，均为s，∠DEF的平分线交DF边于G，∠def的平分线交df边于g ，过G做线段GH垂直于DE，交DE于点H，过g做线段gh垂直于de，交de于点h。
∠GHE=∠ghe=90°，线段EG与线段eg长均为s，这个根据直角三角形全等判定定理可以证得RTΔEGH与RTΔegh全等，全等以后∠GEH=∠geh，∵∠GEH=1/2∠HEF,∠geh=1/2∠hef,∴∠DEF=∠def.（提问题的人，如果你看到这里都理解的话说明你快看到曙光了）同理可证这两个三角形的另外两个对应角都相等。即∠EDF=∠edf
在ΔEDG与Δedg中，∠DEG=∠deg，∠EDF=∠edf，线段EG长等于线段eg长等于s。然后你再用一次三角形全等的判定定理就可以证出ΔEDG全等于Δedg。然后得到ED长=ed长。再加上∠EDF=∠edf，∠DEF=∠def。证得最后滴BOSS三角形即ΔDEF全等于Δdef。所以命题得证。
你在看我以上的证明过程时请自己拿笔在草稿纸上画出三角形，这样方便你看懂，还有不要看我证得很麻烦，你看得懂就不麻烦。我写的比较详细而已。
关于你的第三个命题：两三角形的对应中线相等，则两三角形全等。
请让我先晕一下，我好不容易打完第2个角平分线去做中线，以为中线会简单一点，没想到中线也不是个好东东。我好想口头说给你听，但这是不现实滴。你看吧，证明如下：
和第二个证明一样做两个三角形，ΔDEF和Δdef，EF边上的中点为G，ef边上的中点为g。（提问的，你重心学过的哦，就是三边中线的交点。然后有个定理的，就是重心平分中线的长比例是2比1的，如果不知道去翻翻数学书）设ΔDEF的重心为O，Δdef的重心为o ，ED边中点为A，ed边中点为a。可知点F,O,A这三点是共线的，同理点f,o,a,三点也共线。延长线段FA至点B，过E做EB//DO，两线相较于点B，另外个三角形一样，我就不再重复说一遍了。
∵BE//DO,∴∠ABE=∠AOD,∠AEB=∠ADO,EA=DA，∴ΔABE全等于ΔAOD∴AB=OA ∵OA=1/2 OF，∴OB=OF
∵OF=2/3FA 同理可证of=2/3fa ，∵FA=fa ∴OF=of，∵OB=OF，同理可证ob=of ∴OB=ob
∵EB=OD,同理得eb=od ，OD=od=2/3的中线长 ∴EB=eb，∵OE=oe，OB=ob ，可证得ΔOEB与Δoeb全等，然后得到∠BOE=∠boe ，作为补角，∠EOF=∠eof，∵OE=oe ，OF=of ，证出ΔEOF全等于Δeof，得到EF=ef。同理可证另外的两条边都对应相等。
即两个三角形全等，该命题得证。

Answer 2

都对

初二全等三角形问题

1.全等三角形的对应边上的中线，高，角平分线对应相等 对

2.两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等 对

3.两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等 对

4.两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等 对

Answer 3

1.全等三角形的对应边上的中线，高，角平分线对应相等 对
2.两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等 对
3.两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等 对
4.两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等 对

Answer 4

1、2、3都对，4不对
如：作一般△ABC，使AB<AC,以A为圆心，AB为半径画弧，交直线BC于B',则△ABC和△AB'C满足AB=AB',AC=AC,BC边上的高相等，但三角形明显不全等。

Answer 5

这道题目有两种情况：分锐角三角形和钝角三角形.
当△ABC是锐角三角形时，求解如下：
∵AD⊥BC
BE⊥AC
∴∠BEC=∠ADC=∠BDH=90°
又∵∠ACD=∠BCE
∴∠CAD=∠CBE（等角的余角相等）
∵∠BDA=90°
BH=AC
∴△ADC≌△BDH（AAS）
∴BD=AD（全等三角形的对应边相等）
∴∠ABC=∠BAD（等边对等角）
又∵∠BDA=90°
∴∠ABC=45°
当△ABC是钝角三角形时，求解如下：
∵AD⊥BC
BE⊥AC
又∵∠DBH=∠CBE
∴∠C=∠H（等角的余角相等）
又∵
BH=AC
∴△BDH≌△ADC（AAS）
∴BD=AD（全等三角形的对应边相等）
∴∠ABD=∠BAD（等边对等角）
又∵∠BDA=90°
∴∠ABD=45°
∴∠CBA=135°
综上所述，∠ABC=45°
或∠ABC=135°
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