Question

50分悬赏 一道不等式题在线等

比1小的3个正数x,y,z的和为2,设w=xy+yz+zx,则w取值

快啊

Answer 1

晚上睡不着，帮你做做了。

x^2+y^2+z^2+2w=(x+y+z)^2=4
所以w=2-(x^2+y^2+z^2)/2
问题转化为求x^2+y^2+z^2的取值问题。
不妨设0<=x<=y<=z<=1

x^2+y^2+z^2最大值求法：
x^2+y^2+z^2
<=x^2+y^2+1(等号成立条件z=1)
=(1-y)^2+y^2+1
=2y^2-2y+2
=2(y-1/2)^2+3/2
<=2*(1-1/2)^2+3/2(等号成立条件y=1)
=2
所以x=0,y=1,z=1,时x^2+y^2+z^2取的最大值2，w=2-(x^2+y^2+z^2)/2 取的最小值1;

x^2+y^2+z^2最小值求法：
x^2+y^2+z^2>=3*((x+y+z)/3)^2(这个3元均值不等式，很容易证明自己证明下）
=4/3（等号成立条件x=y=z=1)
w=2-(x^2+y^2+z^2)/2 取的最大值4/3

w取值在[1,4/3]
本题的答案实际上是(1,4/3]因为x不=0

Answer 2

大于0小于3