Question

0＜α＜β，已知不等式ax²+bx+c＞0的解集为（α，β）,求不等式（a+c-b）x²+（b-2a）x+a＞0

0＜α＜β，已知不等式ax²+bx+c＞0的解集为（α，β）,求不等式（a+c-b）x²+（b-2a）x+a＞0的解集......................

Answer 1

解集为（α，β）等价与不等式（x-α)(x-β)<0,x^2-(α+β)x+αβ<0,a<0
同乘a,ax^2-a(α+β)x+aαβ>0
所以b=-a(α+β) c=aαβ
（a+c-b）x²+（b-2a）x+a＞0
[a+aαβ+a(α+β)]x²+[-a(α+β)-2a]x+a＞0
[1+αβ+(α+β)]x²+[-(α+β)-2]x+1<0
[(α+1)x-1][(β+1)x-1]<0
求得(1/(β+1),1/(α+1))

Answer 2

由ax²+bx+c＞0的解集为（α，β），可知
α、β是方程ax²+bx+c=0的两根，且知a<0，（若a>0，则解集为两根之外）
由韦达定理得
α+β= -b/a
αβ=c/a
上两式中a、b、c为未知数，不妨以b、c为未知数，解得
b= -a(α+β)
c=aαβ
两个结果代入要求的不等式（a+c-b）x²+（b-2a）x+a＞0得
[a+aαβ+a(α+β)]x²+[-a(α+β)-2a]x+a＞0，即
a(1+αβ+α+β)x²-a(α+β+2)x+a＞0，
前面已经说过a<0，所以上式两边同除以a，不等号变方向，得
(1+αβ+α+β)x²-(α+β+2)x+1<0，变形得
(α+1)(β+1)x²-(α+β+2)x+1<0
[(α+1)x-1][(β+1)x-1]<0
[(α+1)x-1][(β+1)x-1]<0
因为0＜α＜β，所以0＜α+1＜β+1，所以0＜1/(β+1)＜1/(α+1)
上面的不等式两边同除以(α+1)(β+1)得
[x-1/(β+1)][x-1/(α+1)]<0
最后解得
1/(β+1)<x<1/(α+1)

Answer 3

根据已知条件，由韦达定理知道：a<0（只有开口向上的抛物线才会在函数值大于零的情况下自变量的取值在两根外，画图最为清晰）,b>0,c<0,（这两个是根据韦达定理推出的）；
那么（a+c-b）x2+（b-2a）x+a＞0开口向下（a+c-b<0），那么最后解一定在两根之间；现在最为关键的步骤就是求（a+c-b）x2+（b-2a）x+a=0的两根，这个是很容易算出来的，一个为1/(β+1),另一个为1/(α+1)；那么最后的解集也就可以写出来了，为(1/(β+1),1/(α+1)) 这个区间。
当然我只是希望与你分享我的方法，没有具体写出解答，呵呵，太懒了，打字慢，O(∩_∩)O谢谢！