Question

抛物线的切线求法问题

求Y的平方=64X的切线方程 我知道求导可以求出来 不过总感觉不是很顺眼 请各位高手把所有方法都介绍一下 另问下抛物线到定直线的最短距离的详细求解步骤 谢谢

Answer 1

不用导数可以用方程联立求解，
设y=kx+b，可以直接代入抛物线方程，代入后得到一元二次方程，由于是相切，方程只能有一个根，就用△=0就行
另外可以用弦长公式，就是直线交抛物线的两点的距离，由于相切，所以弦长为0，则可以得到
根号下（1+k^2）乘以根号下（x1+x2）^2-4x1x2
以上两式相乘等于弦长，即为0
至于（x1+x2）^2和x1x2，就是将y=kx+b代入抛物线方程消去y，得到关于x的一元二次方程，再用韦达定理就可以了，根据不同条件用不同的方法，楼主给的那条抛物线方程注意再原点是没有斜率的
另外抛物线到定直线的距离可以求出某个点，在用点到直线的距离公式，由于手机打不出一些符号，百度一下这公式就行
还可以用极坐标方程，再配合点到直线的距离
方法多种多样，无穷无尽，在这只能说一点点
再说就是其实导数在很多时候解题都是比常规方法简单，而且导数属于高等数字，熟练了对你有好处

Answer 2

已知抛物线y=
x^2-2x+2与y=-x^2+ax+b
在它的一个交点处的切线互相垂直
(1)
求
a+b的值.
(2)若a>0,b>0,
求
ab的最大值.
解：设它的一个交点是（x，y），分别对抛物线y=
x^2-2x+2与y=-x^2+ax+b求导；即：
y=
x^2-2x+2
==>y'=2x-2
即：它的切线斜率是：k1=2x-2
y=-x^2+ax+b==>y'=-2x+a==>k2=-2x+a
因为切线互相垂直；
∴k1*k2=-1
==>(2x-2)(-2x+a)=-1
==>-4x^2+2x(a+2)-2a+1=0-------------------------(1)
解：{y=
x^2-2x+2与y=-x^2+ax+b}得；
x^2-2x+2=-x^2+ax+b
==>2x^2-x(a+2)-b+2=0
==>4x^2-2x(2+2)-2(b-2)=0------------------------(2)
(1)+(2)得：
-2a+1-2(b-2)=0
==>2a+2b=5
==>a+b=5/2
(2)若a>0,b>0,
求
ab的最大值
∵(a+b)/2>=√ab
==>ab<=(a+b)^2/4
==>ab<=(5/2)^2/4
==>ab<=25/16(取等号时值最大）
即：ab的最大值是：25/16

Answer 3

1 首先求出切点处的导数，该点的导数即为切线的斜率
2 根据点斜式即可求出切线方程

Answer 4

抛物线的切线方程没有公式
标准抛物线分为
y^2=2px
x^2=2py
y^2=-2px
x^2=-2py,p>0
等四种类型,3,4项是1,2项的延伸
对于抛物线方程为y^2=2px,抛物线上一点M(a,b)的切线
可设切线方程为y-b=k(x-a)
联立切线与抛物线.
y=k(x-a)+b
则
[k(x-a)+b]^2-2px=0
整理得
k^2x^2-(2k^2a+2p-2kb)x+k^2a^2+b^2-2kba=0
由相切得
△=0
即(2k^2a+2p-2kb)^2-4k^2*(k^2a^2+b^2-2kba)=0
可求得k=p/b.
代回y-b=k(x-a)
y=p/b*(x-a)+b
同理对x^2=2py类型也可以求出切线方程
y=a/p*(x-a)+b

以上是运用方程联立求△=0,得出斜率.
如果有学导数的话,只须对抛物线方程两边求导,得出改点的导数即切线斜率,得出方程.
另x^2=2py类型要注意抛物线顶点的斜率不存在,要分别讨论.

Answer 5

如果你不想这样做
可以设f(x,y)=64x-y^2
则与切线垂直的方向向量是gredient f=(df/dx,df/dy)
也可以求出切线斜率