Question

已知f(x)是定义【-1,1】上的奇函数,且f(1)=1,若a、b属于【-1,1】,a+b不等于0时,有

已知f(x)是定义【-1，1】上的奇函数，且f(1)=1,若a、b属于【-1，1】,a+b不等于0时，有f(a)+f(b)/(a+b)>0.

1、判断函数f(x)在【-1，1】上是增函数，还是减函数，并证明你的结论。

2.解不等式f(x+(1/2))<f(1/(x-1))

3.若f(x)小于等于m`2-2pm+1对所有x属于【-1，1】，P属于【-1，1】（P是常数）恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

解:
(1)设T=-b
则：b=-T

由于：
a+b≠0时,都有[f(a)+f(b)]/(a+b)>0
故：a-T≠0时，
有：[f(a)+f(-T)]/[a+(-T)]>0

又f(x)是奇函数
则有：f(-T)=-f(T)
则：[f(a)-f(T)]/[a-T]>0
即：[a-T]与[f(a)-f(T)]同号
即：a>T时，恒有f(a)>f(T)
a<T时，恒有f(a)<f(T)
故：f(x)在[-1,1]上是增函数

(2)
由f(x+0.5)<f(1/(x-1)) 得
-1〈=（x+0.5）〈=1
-1〈=1/（x-1）<=1
x+1/2>1/(x-1)

∴-1<x＜0

（3）
由以上知f(x)最大值为f(1)=1,
所以要f(x)≤m2－2pm+1对所有x∈〔－1,1〕,p∈〔－1,1〕(p是常数)恒成立，
只需1≤m2－2pm+1恒成立，
得实数m的取值范围为m≤0或m≥2p.

Answer 2

1.。x1<x2
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) 因为f(x1)+f(-x2)/(x1-x2)>0
所以f(x1)+f(-x2)<0 所以f(x1)<f(x2) 所以增

2.。f(x+(1/2))<f(1/(x-1))
-1<(x+(1/2))<1 (1)
-1<(1/(x-1))<1 (2)
(x+(1/2))<(1/(x-1)) (3)
解出即可

3.。因为为增函数 所最大值为f(1)=1
suoyi m^2-2pm+1>1
m(m-2p)>0
1.m>0 则m-2p>0 suoyi m>2p ji m>2
2.m<0 ze m-2p<0 suoyi m<2p ji m<-2

Answer 3

1.增函数 因为奇函数满足F（0）=0，所以F（X）随自变量的增大而增大 是增函数
2.[-3/2，-1）