设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且2f(x)+xf'(x)>x^2，则下面哪个不等式在R内恒成立
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2009年天津市高考数学题文10，不少学生束手无策，理科生看了也觉得不好下手，题目如下，现提供如下7种解法：
（2009天津文10）设函数f（x）在R上的导函数为f（x），且2f（x）+xf（x）>x2，下面的不等式在R上恒成立的是（）
A.f（x）>0B.f（x）<0
C.f（x）>xD.f（x）
解法1：做“合乎逻辑”的估计、猜想
∵x2≥0非负！
∴由已知2f（x）+xf（x）>0恒成立
估计f（x）>0的胜率大于f（x）<0的胜率→排除B，进而排除D。
若f（x）>x成立，x∈R，其中x<0的亦成立。
则f（x）会出现负值，同上道理排除C，故选A。
解法2：类似法1，考查另一项xf（x）
估计xf（x）>0的胜率大于xf（x）<0的胜率
此时x与f（x）同号，即x>0时，f（x）>0；x<0时，f（x）<0
故，x=0是f（x）唯一的极小值点，也是最小值点。
而2f（0）+0>0即f（0）>0
∴f（x）>0，故选A。
点评：以上估计，猜想“合情”，是否“合理”？理应严格论证。但作为“四选一”的选择题在“全体判断”的大前提作用下，不合情的必错，合情的胜率高。加之有正确命题保证：“对一般成立，则对特殊必成立”——真命题，其逆否命题：“对特殊不成立，对一般必不成立”——真命题。这样的正确逻辑关系帮助我们省时、省力地选择对错，太诱人了。
解法3：特殊值法代入验证
∵2f（0）+0>0即f（0）>0
∴排除B、D
∵f（x）在R上可导，必连续
若f（x）>x成立，x>0时f（x）>0成立，这与唯一正确选项矛盾
∴f（x）>x不成立
（f（x）>0成立，不能保证f（x）>x成立），故选A。
解法4：判断连续函数f（x）无零点+f（0）>0→f（x）>0
∵f（x）在R上可导
∴f（x）在R上连续
∵x2≥0
∴2f（x）+xf（x）>0……①在R上恒成立，f（0）>0
假设f（x）有零点xi，即f（xi）=0，代入①，则xif（xi）>0……②
讨论②，xi>0，则f（xi）>0；xi<0，则f（xi）<0
故此，f（x）在xi>0时递增，f（x）在xi<0时递减，f（x）的零点xi=0是唯一的极小值点也是最小值点，其最小值f（xi）=f（0）=0，这与f（0）>0矛盾。
∴f（x）>0，选A。
点评：①xi是定值，此处怎么视为变量了？答曰：你可以想象一下（毕竟xi是任意一个零点），若xi动起来，函数f（x）的零点既是极小值点也是最小值点的特性显露无遗，立即显出矛盾。可以如此猜想、分析。
②以上解法省时、省力，为考试争得时间，其锻炼人思维敏捷性的长处不可小视，它能促进你做“合乎逻辑的思考”。
解法5：构造辅助函数
令f（x）=x2+m（m∈R），则2f（x）+xf（x）=2x2+2m+2x2>x2恒成立
∴唯有m>0，此时显然可排除B、D。又f（x）-x=x2-x+m>0在R上恒成立←→=1-4m<0，故当m≤时，C不成立，可见对此f（x），B、C、D均不真，故选A。
解法6：构造函数F（x）=x2f（x），则F（x）=2xf（x）+x2f（x）
当x≠0时，题设不等式化为>x2
当x<0时，F（x）
当x>0时，F（x）>x3>0，F（x）为增函数
于是，F（x）仅在x=0时有最小值F（0）=0，即有F（x）=x2f（x）≥0，于是当x≠0时有f（x）≥0，由已知x=0时有2f（0）+0·f（0）>02，故f（0）>0。若存在x0≠0，f（x0）=0，则f（x0）=x02f（x0）=0，这与F（x）仅在x=0时有F（0）=0不符，所以f（x）>0恒成立。
解法7：令x=0，得2f（0）+0>0，故f（0）>0
当x>0时，有2xf（x）+x2f（x）>x3，[x2f（x）]>x3
[x2f（x）-]>0
故x2f（x）-在[0，+∞）↑，x2f（x）->02·f（0）-=0
即f（x）>>0
当x<0时，有2xf（x）+x2f（x）
故x2f（x）->02·f（0）-=0，即f（x）>>0
综上，对x∈R均有f（x）>0，选A。
总评：一道高考文科选择题引来那么多想法，足见其有数学教育价值和思维价值。以上解法是众名家巧思妙解的汇集。此题若改成证明f（x）>0，则唯有法6、法7可用，深思一下，法6、法7都构造了函数（此函数来自题设条件的变形），皆灵活运用了导数工具来研究函数单调性、最值，分类讨论的思想也清晰体现在解题中。作为选择题，法5的构造特殊函数恰到好处。那些热衷题海的同学，不如找一些典型题深抠一下。能做到举一反三的同学，你的认识已经开始实现了“从量变到质变”的飞跃。
参考资料：http://sx.zxxk.com/Article/81266.html
（2009天津文10）设函数f（x）在R上的导函数为f（x），且2f（x）+xf（x）>x2，下面的不等式在R上恒成立的是（）
A.f（x）>0B.f（x）<0
C.f（x）>xD.f（x）
解法1：做“合乎逻辑”的估计、猜想
∵x2≥0非负！
∴由已知2f（x）+xf（x）>0恒成立
估计f（x）>0的胜率大于f（x）<0的胜率→排除B，进而排除D。
若f（x）>x成立，x∈R，其中x<0的亦成立。
则f（x）会出现负值，同上道理排除C，故选A。
解法2：类似法1，考查另一项xf（x）
估计xf（x）>0的胜率大于xf（x）<0的胜率
此时x与f（x）同号，即x>0时，f（x）>0；x<0时，f（x）<0
故，x=0是f（x）唯一的极小值点，也是最小值点。
而2f（0）+0>0即f（0）>0
∴f（x）>0，故选A。
点评：以上估计，猜想“合情”，是否“合理”？理应严格论证。但作为“四选一”的选择题在“全体判断”的大前提作用下，不合情的必错，合情的胜率高。加之有正确命题保证：“对一般成立，则对特殊必成立”——真命题，其逆否命题：“对特殊不成立，对一般必不成立”——真命题。这样的正确逻辑关系帮助我们省时、省力地选择对错，太诱人了。
解法3：特殊值法代入验证
∵2f（0）+0>0即f（0）>0
∴排除B、D
∵f（x）在R上可导，必连续
若f（x）>x成立，x>0时f（x）>0成立，这与唯一正确选项矛盾
∴f（x）>x不成立
（f（x）>0成立，不能保证f（x）>x成立），故选A。
解法4：判断连续函数f（x）无零点+f（0）>0→f（x）>0
∵f（x）在R上可导
∴f（x）在R上连续
∵x2≥0
∴2f（x）+xf（x）>0……①在R上恒成立，f（0）>0
假设f（x）有零点xi，即f（xi）=0，代入①，则xif（xi）>0……②
讨论②，xi>0，则f（xi）>0；xi<0，则f（xi）<0
故此，f（x）在xi>0时递增，f（x）在xi<0时递减，f（x）的零点xi=0是唯一的极小值点也是最小值点，其最小值f（xi）=f（0）=0，这与f（0）>0矛盾。
∴f（x）>0，选A。
点评：①xi是定值，此处怎么视为变量了？答曰：你可以想象一下（毕竟xi是任意一个零点），若xi动起来，函数f（x）的零点既是极小值点也是最小值点的特性显露无遗，立即显出矛盾。可以如此猜想、分析。
②以上解法省时、省力，为考试争得时间，其锻炼人思维敏捷性的长处不可小视，它能促进你做“合乎逻辑的思考”。
解法5：构造辅助函数
令f（x）=x2+m（m∈R），则2f（x）+xf（x）=2x2+2m+2x2>x2恒成立
∴唯有m>0，此时显然可排除B、D。又f（x）-x=x2-x+m>0在R上恒成立←→=1-4m<0，故当m≤时，C不成立，可见对此f（x），B、C、D均不真，故选A。
解法6：构造函数F（x）=x2f（x），则F（x）=2xf（x）+x2f（x）
当x≠0时，题设不等式化为>x2
当x<0时，F（x）
当x>0时，F（x）>x3>0，F（x）为增函数
于是，F（x）仅在x=0时有最小值F（0）=0，即有F（x）=x2f（x）≥0，于是当x≠0时有f（x）≥0，由已知x=0时有2f（0）+0·f（0）>02，故f（0）>0。若存在x0≠0，f（x0）=0，则f（x0）=x02f（x0）=0，这与F（x）仅在x=0时有F（0）=0不符，所以f（x）>0恒成立。
解法7：令x=0，得2f（0）+0>0，故f（0）>0
当x>0时，有2xf（x）+x2f（x）>x3，[x2f（x）]>x3
[x2f（x）-]>0
故x2f（x）-在[0，+∞）↑，x2f（x）->02·f（0）-=0
即f（x）>>0
当x<0时，有2xf（x）+x2f（x）
故x2f（x）->02·f（0）-=0，即f（x）>>0
综上，对x∈R均有f（x）>0，选A。
总评：一道高考文科选择题引来那么多想法，足见其有数学教育价值和思维价值。以上解法是众名家巧思妙解的汇集。此题若改成证明f（x）>0，则唯有法6、法7可用，深思一下，法6、法7都构造了函数（此函数来自题设条件的变形），皆灵活运用了导数工具来研究函数单调性、最值，分类讨论的思想也清晰体现在解题中。作为选择题，法5的构造特殊函数恰到好处。那些热衷题海的同学，不如找一些典型题深抠一下。能做到举一反三的同学，你的认识已经开始实现了“从量变到质变”的飞跃。
参考资料：http://sx.zxxk.com/Article/81266.html
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我先声明下： 我不是在骂一楼的朋友。。
如果楼主是在高考考场上，对于这类知识来源于课本的函数，参数取值问题，针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法。。。取特值 带入题设表达式。争取在最短的时间内搞定。 谁抓住了方法，谁就抓住了分数。所以一题多解只适合平时，高考行不通。高考虽然已经过去了3年多了，但是偶们还是很怀念那战火纷飞的日子滴。。
如果楼主是在高考考场上，对于这类知识来源于课本的函数，参数取值问题，针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法。。。取特值 带入题设表达式。争取在最短的时间内搞定。 谁抓住了方法，谁就抓住了分数。所以一题多解只适合平时，高考行不通。高考虽然已经过去了3年多了，但是偶们还是很怀念那战火纷飞的日子滴。。
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首先令x=0，则2f(0)+0f'(0)>0^2=0
所以f(0)>0,所以答案只可能是A和C，下面再判断其中之一
所以f(0)>0,所以答案只可能是A和C，下面再判断其中之一
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