Question

若a,b均为正实数,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax^2+by^2>=(ax+by)^2

Answer 1

因为a+b=1，所以1-b=a，1-a=b，所以
ax²+by²-(ax+by)²
= ax²+by²-a²x²-b²y²-2abxy
= (a-a²)x²+(b-b²)y²-2abxy
=a (1-a)x²+b(1-b)y²-2abxy
=abx²+aby²-2abxy
=ab(x²+y²-2xy)
=ab(x-y)²
因为a、b均为正实数，所以上式恒为非负。当x=y时可以取到0，所以ab(x-y)² ≥0，即
ax²+by²-(ax+by)² ≥0，所以
ax²+by²≥(ax+by)²

Answer 2

因为b=1-a，所以
ax^2+(1-a)y^2-(ax+(1-a)y)^2
=ax^2+(1-a)y^2-a^2x^2-2a(1-a)xy-(1-a)^2y^2
=ax^2-a^2x^2-2axy+2a^2xy+ay^2-a^2y^2
=-(a^2x^2-2a^2xy+a^2y^2)+(ax^2-2axy+ay^2)
=(x-y)^2(a-a^2)
因为0<a<1，所以上式恒非正。只有当x=y时可以取到等号。

（分析法）
证明：
ax^2+by^2≥（ax+by)^2
====>ax^2+by^2≥a^2x^2+b^2y^2+2abxy
====>ax^2-a^2x^2+by^2-b^2y^2≥2abxy
====>a(1-a)x^2+b(1-b)y^2≥2abxy 由 a+b＝1 则
原式==abx^2+aby^2≥2abxy
====> x^2+y^2≥2xy
所以，
ax^2+by^2≥（ax+by)^2

Answer 3

ax^2+(1-a)y^2-(ax+(1-a)y)^2
=ax^2+(1-a)y^2-a^2x^2-2a(1-a)xy-(1-a)^2y^2
=ax^2-a^2x^2-2axy+2a^2xy+ay^2-a^2y^2
=-(a^2x^2-2a^2xy+a^2y^2)+(ax^2-2axy+ay^2)
=(x-y)^2(a-a^2)
因为0<a<1，所以上式恒非正。只有当x=y时可以取到等号。
=-(a^2x^2-2a^2xy+a^2y^2)+(ax^2-2axy+ay^2)这里时只有当x=y时可以取到等号。

Answer 4

x,y∈R
(x-y)2≥0
ab(x2+y2-2xy)≥0
1-a=b，1-b=a
abx2+bay2-2abxy≥0
a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy≥0
(ax2-a2x2)+(by2-b2y2)-2abxy≥0
ax2+by2-(a2x2+2abxy+b2y2)≥0
ax2+by2-(ax+by)2≥0
ax2+by2≥(ax+by)2