Question

高中数学函数问题，懂得人来~！急，在线等~！！！！！！！！！！！

1.
若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数，
且满足f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y），f（-2)=f(1)≠0，
则求出 g（1）+g（-1）的值 ？

2.
若函数f（x）的值域是[1/2,3]，
则函数F（x）=f（x）+1/f(x)的值域是？

PS：两道题都要详细的 推理过程 加 文字说明 ！！！

Answer 1

很简单啊
若a=0则原方程变形为-x-1=0 于是x=-1 不合题意，舍
若a不等于0该方程为一元二次方程
建立函数f(x)=ax^2-x-1
当判别式＝1+8a>0,即a>-1/8时
有f(0)*f(1)<0
即-1*(2a-2)<0 得a>1
于是有a>1
当判别式＝1+8a=0,即a=-1/8时
方程变形为－1/4x^2-x-1=0
即x^2+4x+4=0 得x=-2 不合题意，舍
综上~~
好好学习:-)

Answer 2

f(0)=f(0-0)=f(0)g(0)-g(0)f(0)=0
f(1)=f(1-0)=f(1)g(0)-g(1)f(0)=f(1)g(0) => g(0)=1或f(1)=0(与题目不符舍去) 只有g(0)=1
f(1)=f(0-(-1))=f(0)g(-1)-g(0)f(-1)=-f(-1)
f(1)=f(-2)=f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1) => f(1)=-f(1)g(1)-g(-1)f(1)
因为f(1)≠0所以消去f(1)得 g(1)+g(-1)=-1

Answer 3

1.f(0)=f(0-0)=f(0)g(0)-f(0)g(0)=0
f(x)=f(x-0)=f(x)g(0)-f(0)g(x)=f(x)g(0),考虑到f(x)不恒为0,于是g(0)=1
f(-y)=f(0-y)=f(0)g(y)-g(0)f(y)=-f(y),即f(x)是奇函数
f(2)=f(1-(-1))=f(1)g(-1)-f(-1)g(1)
考虑到:f(-2)=f(1)=-f(-1)=-f(2)代入上式:g(1)+g(-1)=-1;
2.考虑g(x)=x+1/x在[1/2,3]的单调性,设x1、x2∈[1/2,3],x1＞x2
g(x1)-g(x2)=(x1-x2)[1-1/(x1x2)]
显然：x1、x2∈[1/2,1]，g(x1)-g(x2)≤0，x1、x2∈[1,3]，g(x1)-g(x2)≥0
于是g(x)在[1/2,1]上单减，在[1,3]上单增
显然：F(x)的值域为：[2,10/3]