Question

为什么MATLAB中计算3^34时，结果为16677181699666568，而实际上3^34=16677181699666569?

用MATLAB计算3^34、5^23、7^19时，结果分别为16677181699666568、11920928955078124、11398895185373144。而实际上3^34=16677181699666568+1、5^23=11920928955078124+1、7^19=11398895185373144-1。但计算3^33、5^22、7^18时，结果都是正确的。
回复：
liuxinzhang123，没看懂，能不能麻烦你讲详细些？
hokvens、dwangli，不对，当然没超过运算最大位数的上限咯，比如2^100=1267650600228229401496703205376是正确的，显然2^100比3^34位数多。
csg974，请问double类型为什么不准，能不能讲具体些？

Answer 1

太大或者太小的数想准确计算的话，用sym类型来计算。
>> sym(3)^34

ans =

16677181699666569

只不过需要注意的是结果也是sym类型，必要时需转换成double类型。

>> double(ans)

ans =

1.667718169966657e+016

至于为什么算出是16677181699666568，这跟计算机内部的浮点数表示法有关。
>> sym(3^34,'d')

ans =

16677181699666568.
这个是用十进制数表示，就是你知道的那个计算结果，不过这个结果是怎么来的呢？我换一种表示法，你看一下：
>> sym(3^34,'r')

ans =

8338590849833284*2^(1)
这种表示法是按有理数的表示法，也就是分数。
在sym的帮助里，'r'的说明里有这么一句话：
If no simple rational approximation can be
found, an expression of the form p*2^q with large integers p and q
reproduces the floating point value exactly. For example, sym(4/3,'r')
is '4/3', but sym(1+sqrt(5),'r') is 7286977268806824*2^(-51)
意思就是说如果不能用准确的有理数形式表达的话，那就用它的浮点数的值重新构成一个p*2^q这样形式的表达式。
看来，你要求的3^34已经超出准确表达的范围了，那么它的浮点数的值是什么样的呢？下面再换成浮点数的形式：
>> sym(3^34,'f')

ans =

'1.d9fe779881944'*2^(53)
这个就是浮点数在计算机中的实际存储形式了。一般我们说的double类型，就是64位的浮点数。有兴趣的话你可以查一查IEEE二进制浮点数的标准。
简单来说，64位的二进制浮点数，最高位为符号位，中间11位为指数(这里就是那个53)，低52位为实际的有效数字(也就是d9fe779881944这部分，其中每个十六进制占4位，刚好13个，一共52位)。然后前面加上"1."，就是上面看到那个形式了。
看一下
>> hex2dec('1d9fe779881944') % hex2dec是十六进制转换成十进制

ans =

8338590849833284
因为有小数点，所以还要除以16^13=2^52，也就是乘以2^(-52)
那么'1.d9fe779881944'*2^(53)就变成
8338590849833284*2^(-52)*2^(53)
=8338590849833284*2^(1) 也就是前面那个有理数表示形式。
=16677181699666568 这个是十进制数的表示形式

好，现在再看为什么会出现结果末位是8而不是9，就比较容易理解了。
正是因为浮点数所能准确表示的有效数字，最多就是那52位二进制数，
所以超出范围的话，只能用52位的有效数字乘以2的幂来表示，那末位就一定是偶数，不可能出现奇数的，所以9是表示不出来的。

这还是只超过范围一位，要是超出更多，那表达式跟实际值可能相差的更多了。
因为你这个3^34是8338590849833284*2^(1)，后面只是2^(1)，所以误差不会超过2，最多就是1。
假如后面是2^(3)，那跟实际值相差最多7，也就是2^n-1。

至于最前面，double形式等于1.667718169966657e+016 ，
这个就跟屏幕显示的位数有关了，我用的是format long g，
是显示15位小数，只是影响显示，不影响实际的值。

Answer 2

超过运算最大位数的上限了，不信你再试试更大的数，显示给你的结果更不准 。

但要记得，在MATLAB内部，它的数值是准确的，你定义

temp = 3^34;

虽然显示的值不准 ，但运算的时候你可以试试temp/3^30，肯定还是81.

Answer 3

matlab的有效位数应该只有15位吧。。。不太清楚，你这个应该是整数的计算

Answer 4

那个模式是偶数模式