Question

已知函数y=log1/2(x^2-2x+a)的值域为R，求a的取值范围,为什么

答案为a<=1

Answer 1

解：因为，对于一个对数函数，如果值域为全体实数，
则，真数一定能取到全体正数。
即y=x^2-2x+a的△=4-4a=>0
得，a<=1

补充: 对于判别式的符号，这个地方太容易错了。放到真数位置的数不是正的吗？其实这个地方只要是放到真数位置的数已被默认为正的了。当△=4-4a<0时并不能保证真数取到所有正数。所以判别式大于等于0，说明图像与x轴有两个交点，那你把图画出来，是不是函数值能够取到所有正数，函数值能够取到所有正数，就说明真数可以取到一切正数，即定义域为R
还可以这样认为只要放到真数位置的数肯定是

Answer 2

解根据对数函数与指数函数互为反函数的关系，所以x^2-2x+a=2^y>0.△=4-4a<0
a>1 ,即函数y=log1/2(x^2-2x+a)的值域为R，a的取值范围为（1，+∞）

Answer 3

对于一个对数函数，如果值域为全体实数，那么真数一定能取到全体正数。
依题意有：无论x取何值，x²-2x+a>0恒成立。
不等号左边是一个二次函数，开口向上，要使其大于0恒成立，那么其图像一定全在x轴上方，也就是其判别式恒小于0，所以
△=4-4a<0，解之得a的取值范围：
a>1