Question

设函数f(x)=a/3x^3+bx^2+4cx+d的图像关于原点对称，

f(x)的图像在点p(1,m)处 的切线斜率为-6，且当x=2时f(x)有极值。
1、求a,b,c,d的值
2,求f(x)的所有极值

Answer 1

因为图像关于原点对称，所以有f(x)=-f(-x)
即：f(x)=-(-(a/3)x^3+bx^2-4cx+d)=(a/3)x^3-bx^2+4cx-d
由等式可知道，b=-b,d=-d
所以，b=0,d=0
又因为，在点（1，m）处切线斜率为-6
所以f’(x)=ax^2+4c=a*1^2+4c=a+4c=6 ……（1）
又因为当x=2时有极值，
所以f'(2)=0,即a*2^2+4c=4a+4c=a+c=0 ……（2）
由(1)(2)求得,a=-2,c=2

因为f'(x)=-2x^2+8 （代入第一小题中已求得的4个值再求导）
解方程f'(x)=0即可求得所有极值，答案为：正负2